Кант о соотношении философии и математики
(фрагмент из «Критики чистого разума» И.Канта)
Реферативная обработка осуществлена аспиранткой мехмата МГУ (2004 г.) Н. Рубцовой
«Я решила не трогать текст, так как он и так достаточно сжат, и выкидывание каких-то кусков может отразиться на понимании. Основные идеи я выделила желтым цветом» Наташа Рубцова.
Дисциплина чистого разума в догматическом применении
Математика дает самый блестящий пример чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без помощи опыта. Примеры заразительны, особенно для одной и той же способности, которая, естественно, льстит себя надеждой достигнуть и в других случаях такого же успеха, какой выпал на ее долю в одном случае. Поэтому чистый разум надеется в трансцендентальном применении столь же удачно и основательно расшириться, как это ему удалось в математике, в особенности если он применит тот же метод, который принес столь очевидную пользу в математике. Поэтому для нас очень важно узнать, тождествен ли метод достижения аподиктической достоверности, называемый математическим, с тем методом, при помощи которого философия старается достигнуть той же достоверности и который должен называться в ней догматическим.
Философское познание есть познание разумом посредством понятий, а математическое знание есть познание посредством конструирования понятий. Но конструировать понятие- значит показать a priori соответствующее ему созерцание. Следовательно, для конструирования понятия требуется не эмпирическое созерцание, которое, стало быть, как созерцание есть единичный объект, но тем не менее, будучи конструированием понятия (общего представления), должно выразить в представлении общезначимость для всех возможных созерцаний, подходящих под одно и то же понятие. Так, я конструирую треугольник, показывая предмет, соответствующий этому понятию, или при помощи одного лишь воображения в чистом созерцании, или вслед за этим также на бумаге в эмпирическом созерцании, но и в том и в другом случае совершенно a priori, не заимствуя для этого образцов ни из какого опыта. Единичная нарисованная фигура эмпирична, но тем не менее служит для выражения понятия без ущерба для его всеобщности, так как в этом эмпирическом созерцании я всегда имею в виду только действие по конструированию понятия, для которого многие определения, например величины сторон и углов, совершенно безразличны, и потому я отвлекаюсь от этих разных [определений], не изменяющих понятия треугольника.
Следовательно, философское познание рассматривает частное только в общем, а математическое знание рассматривает общее в частном и даже в единичном, однако a priori и посредством разума, так что, подобно тому как это единичное определено при некоторых общих условиях конструирования, так и предмет понятия, которому это единичное соответствует лишь в качестве его схемы, должен мыслиться в общей определенной форме.
Следовательно, существенное различие между этими двумя видами познания разумом заключается в этой их форме, а не основывается на различии между их материей или предметами. Те, кто пытается отличить философию от математики, полагая, что первая имеет объектом только качество, а вторая - только количество, принимают действие за причину. Форма математического познания есть причина того, что оно может быть направлено только на количества. В самом деле, конструировать, т. е. представить a priori в созерцании, можно только понятия величины, а качества можно показать не иначе как в эмпирическом созерцании. Поэтому их познание разумом возможно только посредством понятий. Так, созерцание, соответствующее понятию реальности, мы можем извлечь только из опыта, но никогда a priori из самих себя и до эмпирического осознания ее Коническую фигуру мы можем сделать наглядной просто на основании понятия, без всякой помощи опыта, но цвет этого конуса должен быть дан заранее в каком-нибудь опыте. Понятие причины вообще я никак не могу показать в созерцании иначе как с помощью примера, данного мне опытом, и т. д. Впрочем, философия занимается и величинами, так же как математика, например, целокупностью, бесконечностью и т. д. В свою очередь математика занимается и различием между линиями и плоскостями как пространствами, обладающими различным качеством, а также непрерывностью протяженности как ее качеством. Но хотя в таких случаях они имеют общий предмет, тем не менее способ рассмотрения его разумом в философском и математическом исследованиях совершенно различен. Философия держится только общих понятий, а математика ничего не может добиться посредством одних лишь понятий и тотчас спешит [перейти] к созерцанию, в котором она рассматривает понятие m concrete, однако не эмпирически, а лишь в таком созерцании, которое она показывает a priori, т. е. конструировала, и в котором то, что следует из общих условий конструирования, должно быть приложимо также и к объекту конструируемого понятия.
Дайте философу понятие треугольника, и пусть он найдет свойственным ему способом, как относится сумма его углов к величине прямого угла. У него есть только понятие фигуры, ограниченной тремя прямыми линиями, и вместе с ней понятие о таком же количестве углов. Сколько бы он ни размышлял над этим понятием, он не добудет ничего нового. Он может расчленить и сделать отчетливым понятие прямой линии, или угла, или числа три, но не откроет новых свойств, вовсе не заключающихся в этих понятиях. Но пусть за тот же вопрос возьмется геометр. Он тотчас начнет с конструирования треугольника. Зная, что два прямых угла имеют такую же величину, как все смежные углы, исходящие из одной точки и лежащие на одной прямой, он продолжает одну из сторон своего треугольника и получает два смежных угла, сумма которых равна двум прямым углам. Внешний из этих углов он делит, проводя линию, параллельную противоположной стороне треугольника, и замечает, что отсюда получается внешний смежный угол, равный внутреннему, и т. д. Так, руководствуясь все время созерцанием, он цепью выводов приходит к совершенно очевидному и вместе с тем общему решению вопроса.
Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, который должно мыслить согласно такому понятию величины. Она избирает себе при этом определенные обозначения для всех конструировании величин вообще (чисел), каковы сложение, вычитание, извлечение корня и т. д; затем, обозначив общее понятие величин в их различных отношениях, она изображает в созерцании соответственно определенным общим правилам все операции, производящие и изменяющие величину, когда одна величина должна быть разделена другой, она соединяет их знаки по обозначающей форме деления и т. п. и таким образом с помощью символической конструкции, так же как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов), достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий никогда не может достигнуть.
Какова причина этого столь различного положения философа и математика, когда один из них избирает свой путь, исходя из понятий, а другой -опираясь на созерцания, которые он показывает a priori сообразно понятиям? Причина этого ясна из основ трансцендентального учения, изложенного выше. Здесь речь идет не об аналитических положениях, которые можно получить посредством одного лишь расчленения понятий (в этом деле философ, без сомнения, одержал бы верх над своим соперником), а о синтетических положениях, и притом таких, которые должны быть познаны a priori В самом деле, я должен обратить внимание не на то, что я мыслю в своем понятии треугольника (это было бы лишь дефиницией треугольника) а должен выйти за пределы этого понятия к свойствам, который не заключаются в нем, но все же принадлежат к нему. Эти возможно лишь в том случае, если я определяю свой предмет согласно условиям или эмпирического, или чистого созерцания. Первый прием может привести только к эмпирическому положению (путем измерения углов треугольника); такое положение не обладает всеобщностью и еще в меньшей степени необходимостью; поэтому о такого рода положениях здесь не пойдет речи. Второй же прием-это математическое, в данном случае геометрическое, конструирование, посредством которого я в чистом созерцании, точно так же как в эмпирическом, присоединяю многообразное, относящееся к схеме треугольника вообще, стало быть, к его понятию, благодаря чему должны, без сомнения, получаться общие синтетические положения.
Следовательно, я напрасно философствовал бы о треугольнике, т. е. размышлял бы дискурсивно, не будучи в состоянии пойти дальше одной только дефиниции, с которой к тому же мне следовало начать. Существует, правда, трансцендентальный синтез из одних лишь понятий, который опять-таки удается только философу, но он касается лишь вещи вообще, при наличии которой восприятие ее может принадлежать к возможному опыту. Но в математических проблемах речь идет не об этом и вообще не о существовании, а о свойствах предмета самих по себе, лишь поскольку они связаны с его понятием.
В приведенном примере мы старались только ясно показать, как велико различие между дискурсивным применением разума согласно понятиям и интуитивным применением его посредством конструирования понятий. Естественно, возникает вопрос, какова причина, делающая необходимым такое двойное применение разума, и по каким условиям можно узнать, имеет ли место только первое или также и второе применение разума.
Все наше познание относится в конечном счете к возможным созерцаниям, так как только посредством них дается предмет. Априорное понятие (неэмпирическое) или уже содержит в себе чистое созерцание, и тогда оно может быть конструировано, или же оно не заключает в себе ничего, кроме синтеза возможных созерцаний, которые a priori не даны и тогда можно посредством него судить синтетически и а priori дискурсивно, согласно понятиям, и никогда интуитивно, т.е. посредством конструирования понятий.