Тема 15. Модулированные сигналы мир создан ради богов и людей (стр. 2 из 6)

Для определения средней мощности сигнала выполним усреднение функции p(t):

P_u =

Все взаимные мощности модулированного сигнала при усреднении становятся равными нулю (спектры не перекрываются), при этом:

P_u = Р_нес + Р_вб + Р_нб = U_m²/2 + (U_mM)²/4. (15.1.6)

Доля мощности боковых частот в единицах мощности несущей частоты:

(Р_вб + Р_нб)/Р_нес = М²/2, (15.1.7)

т.е. не превышает 50% даже при 100%-ной модуляции.

Под полезной мощностью модулированных сигналов понимают мощность боковых частот, несущих информацию. Коэффициент полезного действия модуляции определяется отношением мощности боковых частот к общей мощности модулированного сигнала:

h_АМ = (U_m² M²/4) /P_u = M²/(М²+2). (15.1.8)

Рис. 15.1.5.

Как можно видеть на рис. 15.1.5, даже при М=1 КПД амплитудной модуляции составляет только 33%, а при практическом использовании обычно меньше 20%.

Для модулированных сигналов применяют также понятие пиковой мощности P_max. Значение пиковой мощности для однотонального АМ-сигнала:

P_max = U_m² (1+M)².

Многотональный модулирующий сигнал имеет произвольный спектральный состав. Математическая модель такого сигнала может быть аппроксимирована тригонометрической суммой гармонических составляющих, в пределе бесконечной:

s(t, n) =

a_n cos(W_nt+F_n), (15.1.9)

где значения амплитуд a_n и начальных фаз F_n упорядоченной возрастающей последовательности гармоник W_n произвольны. Подставляя (15.1.9) в (15.1.2) и заменяя произведения M·a_n парциальными (частичными) коэффициентами модуляции M_n = M·a_n, получим обобщенное уравнение амплитудно-модулированного сигнала и его физического спектра:

u(t) = U_m[1+

М_ncos(W_nt+F_n)]×cos w_ot. (15.1.10)

u(t)=U_mcos w_ot+(U_m/2)

M_ncos[(w_o+W_n)t+F_n]+ M_ncos[(w_o-W_n)t-F_n].

Рис. 15.1.6. Многотональная модуляция.

На рис. 15.1.6 приведен схематический пример амплитудных спектров модулирующего и АМ-сигналов при многотональной модуляции. Он также содержит полосы верхних и нижних боковых частот относительно несущей частоты w_o, являющихся прямой и зеркальной масштабными копиями модулирующего сигнала. Полная ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенной ширине спектра модулирующего сигнала.

Пример. Частотный диапазон одного километра каротажного кабеля 0-200 кГц. Частотный диапазон измерительных датчиков скважинного прибора 0-5 кГц. От какого количества датчиков одновременно может передаваться информация по данному каротажному кабелю?

Минимальная несущая частота должна быть на порядок выше максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. порядка 50 кГц. Для передачи сигнала от одного датчика потребуется полоса частот 2×5 = 10 кГц плюс пустой защитный интервал для исключения перекрестных помех порядка 1 кГц, т.е. 11 кГц. Общее количество каналов передачи информации: (200-50-5)/11 = 13 каналов.

В соответствии огибающей модулированного сигнала форме модулирующего сообщения нетрудно убедиться вычислением модуля аналитического сигнала z(t) = u(t) +

(см. тему "Аналитические сигналы").

При u(t) = U_m[1+

М_n·s(t, n)] cos w_o(t), квадратурное дополнение сигнала определяется преобразованием Гильберта и равно = U_m[1+ М_n·s(t, n)] sin w_o(t). Огибающая сигнала:

|z(t)| =

= = U_m[1+ М_n·s(t,n)].

Автокорреляционная функция АМ-сигналов:

B_u(t) =

u(t) u(t-t) dt. (15.1.12)

Постоянная фаза сигнала не влияет на форму АКФ. При u(t)=U(t)·cos w_ot получаем:

cos w_ot · cos w_o(t-t) = 0.5 cos w_ot + 0.5 cos w_o(2t-t).

B_u(t) =

U(t)U(t-t) dt + 0.5 U(t)U(t-t) cos w_o(2t-t) dt. (15.1.13)

Второй интеграл в формуле АКФ существенно меньше первого (произведение медленно меняющейся функции U(t)U(t-t) и сильно осциллирующего члена с частотой 2w_o) и им можно пренебречь. Первый интеграл представляет собой АКФ сигнала U(t). Отсюда:

Рис. 15.1.7.

B_u(t) @

B_U(t). (15.1.14)

Полная энергия сигнала за счет усреднения по высокочастотным колебаниям:

B_u(0) @ (1/2) B_U(0).

При бесконечной энергии сигнала:

B_u(t) =

. (15.1.15)

На рис. 15.1.7 приведена типичная форма автокорреляционных функций однотонального модулированного сигнала при М=1 и U_m=1.

Демодуляция АМ-сигналов может выполняться несколькими способами.

Самый простой способ – двухполупериодное детектирование (вычисление модуля сигнала) с последующим сглаживанием однополярных полупериодов несущей фильтром низких частот.

На рис. 15.1.8 приведен пример изменения однотонального амплитдно-модулированного сигнала и его физического спектра при детектировании (в реальной односторонней шкале частот и в реальной шкале амплитудных значений гармоник колебаний). Параметры представленного сигнала: несущая частота 30 Гц, частота модуляции 3 Гц, коэффициент модуляции М=1.

Рис. 15.1.8. Изменение однотонального модулированного сигнала при детектировании

Как видно на рисунке, при детектировании спектр модулированного сигнала становится однополярным, переходит на основную несущую частоту 2w_o и уменьшается по энергии. Основная часть энергии (более 4/5) трансформируется в область низких частот и распределяется между постоянной составляющей и выделенной гармоникой сигнала модуляции в зависимости от значения коэффициента модуляции М. При М=1 энергии равны, при М=0 (в отсутствие сигнала модуляции) вся энергия переходит на постоянную составляющую.

Кроме этих составляющих в спектре появляются также 2-я, 3-я и более высокие гармоники детектированного модулированного сигнала (т.е. на частотах 4w_o±W, 6w_o±W, и т.д.), которые не показаны на рисунке. Энергия второй гармоники не превышает 2%, а остальных и вовсе незначительна. Демодуляторы сигнала выделяют после детектирования только низкочастотный информационный сигнал и подавляют все остальные частоты, включая постоянную составляющую (низкочастотный фильтр с подавлением постоянной составляющей).

Очевидно также, что в случае перемодуляции сигнала исходный информационный сигнал будет восстанавливаться с ошибкой.

Другой распространенный метод – синхронное детектирование. При синхронном детектировании модулированный сигнал умножается на опорное колебание с частотой несущего колебания. Без учета фазовых углов колебаний:

y(t) = u(t) cos w_ot = U(t) cos w_ot·cos w_ot = ½ U(t) + ½ U(t) cos 2w_ot. (15.1.16)

Рис. 15.1.9.

Как следует из этого выражения, сигнал разделяется на два слагаемых, первое из которых повторяет исходный модулирующий сигнал, а второе повторяет модулированный сигнал на удвоенной несущей частоте 2w_о.

На рис. 15.1.9 приведено визуальное сопоставление двухполупериодного и синхронного детектирования, которое наглядно показывает практически полное подобие процессов. Но форма новой несущей при синхронном детектировании является чистой гармоникой, в отличие от двухполупериодного детектирования.

Физический амплитудный спектр сигналов после демодуляции однозначно соотносится со спектром входного модулированного сигнала: амплитуды гармоник модулированного сигнала на частоте 2w_о в два раза меньше амплитуд входного сигнала, постоянная составляющая равна амплитуде несущей частоты w_o и не зависит от глубины модуляции, амплитуда информационного демодулированного сигнала в 2 раза меньше амплитуды исходного модулирующего сигнала.