Тема 15. Модулированные сигналы мир создан ради богов и людей (стр. 4 из 6)
ω(t) = y(t)/dt = ωo + b ds(t)/dt.
Полная фаза колебаний в произвольный момент времени может быть определена интегрированием мгновенной частоты:
y(t) =
ω(t) dt +jo,где jo = const – произвольная постоянная интегрирования.
Частотная модуляция (ЧМ, frequency modulation - FM) характеризуется линейной связью модулирующего сигнала с мгновенной частотой колебаний, при которой мгновенная частота колебаний образуется сложением частоты высокочастотного несущего колебания wo со значением амплитуды модулирующего сигнала с определенным коэффициентом пропорциональности Dw - девиацией частоты:
w(t) = wo + Dw×s(t). (15.2.2)
Соответственно, полная фаза колебаний:
y(t) = ωo(t) + Dw
s(t) dt +jo,Уравнение ЧМ – сигнала:
u(t) = Um cos(ωot+Dw
s(t) dt +jo). (15.2.3)Частотная и фазовая модуляция взаимосвязаны. Если изменяется начальная фаза колебания, изменяется и мгновенная частота, и наоборот. По этой причине их и объединяют под общим названием угловой модуляции (УМ). По форме колебаний с угловой модуляцией невозможно определить, к какому виду модуляции относится данное колебание, к ФМ или ЧМ, а при достаточно гладких функциях s(t) формы сигналов ФМ и ЧМ вообще практически не отличаются.
Однотональная угловая модуляция. Рассмотрим гармонический модулирующий сигнал с постоянной частотой колебаний ω. Начальная фаза ФМ колебаний:
j(t) = b sin Wt,
где b - индекс угловой модуляции (modulation index), которым задается интенсивность колебаний начальной фазы. Полная фаза модулированного сигнала с учетом несущей частоты ωо:
y(t) = wot + b sin Wt.
Уравнение модулированного сигнала:
u(t) = Um cos(wot + b sin Wt). (15.2.4)
Мгновенная частота колебаний:
ω(t) = dy(t)/dt = wo + bW cos Wt.
Как следует из этих формул, и начальная фаза, и мгновенная частота изменяется по гармоническому закону. Максимальное отклонение от среднего значения ωо характеризует девиацию частоты (frequency deviation) при ФМ модуляции и равно ωd = bW = Dw. Отсюда, индекс угловой модуляции равен отношению девиации частоты к частоте модулирующего сигнала:
b = ωd/W. (15.2.5)
Для ЧМ колебаний начальная фаза сигнала определяется выражением:
j(t) = bW sin Wt,
а мгновенная частота колебаний выражением:
w(t) = wo + bW cos Wt.
Соответственно, полная фаза и уравнение модулированного сигнала:
y(t) = dw(t)/dt = wot + b cos Wt,
u(t) = Um cos (y(t)t).
Различия между частотной и фазовой модуляцией проявляются при изменении частоты W модулирующего сигнала.
При фазовой модуляции девиация частоты прямо пропорциональна W, а индекс угловой модуляции от частоты модулирующего сигнала не зависит:
b = const, ωd = b W.
Напротив, при ЧМ постоянным параметром модуляции является девиация частоты, при этом индекс модуляции обратно пропорционален частоте модулирующего сигнала:
ωd = const, b = ωd/W.
Спектры сигналов с угловой модуляцией.
Формулу (15.2.4) однотональной модуляции можно преобразовать к виду:
u(t) = Umcos(b×sin(Wt)) cos(wot) - Umsin(b×sin(Wt)) sin(wot). (15.2.6)
При малых значениях индекса угловой модуляции (b<<1, узкополосная модуляция) имеют место приближенные равенства:
cos(b×sin Wt) » 1, sin(b×sin Wt) » b×sin wot.
При их использовании в (15.2.6), получаем:
u(t) » Umcos wot + (bUm/2) cos[(wo+W)t] + (-bUm/2) cos[(wo-W)t]. (15.2.7)
Сравнение данного выражения с формулой АМ – сигнала (15.1.4) позволяет сделать вывод, что амплитудные спектры однотональных ФМ и ЧМ сигналов при b<<1 практически аналогичны АМ сигналам и также содержат верхнюю и нижнюю боковые частоты wo+W и wo-W. Различие заключается только в смене знака амплитуды нижней боковой частоты на минус, т.е. в дополнительном фазовом сдвиге нижней боковой частоты на 1800 относительно верхней боковой частоты. Соответственно, гармонические АМ сигналы могут быть трансформированы в ЧМ сигналы изменением на 180о начальной фазы одной из боковых полос. Заметим также, что при малых значениях индекса b основная мощность сигнала (как и в АМ) приходится на несущую частоту.
 Рис. 15.2.2. Амплитуды гармоник сигналов с угловой модуляцией. |
Математическая модель однотональных ЧМ и ФМ сигналов с любым значением индекса модуляции b в общем случае получается разложением функции (15.2.4) в следующий ряд:
u(t)=Um
Jk(b) cos[(wo+kW)t],где Jk(b) – функция Бесселя k-го индекса от аргумента b. Из этого уравнения следует, что спектр сигнала содержит бесконечное число составляющих - нижних и верхних боковых колебаний, с частотами wo±kW, которые соответствуют гармоникам частоты модуляции, и с амплитудами, пропорциональными значениям Jk(b). Амплитуды пяти первых гармоник и несущей частоты при Um=1 в зависимости от индекса модуляции приведены на рис. 15.2.2.
При малой величине индекса b значимые амплитудные значения имеют только первые гармоники. С ростом величины b количество значимых боковых составляющих увеличивается, а энергия сигнала перераспределяется на боковые составляющие. Функции Бесселя имеют колебательный характер, поэтому спектр при удалении от несущей частоты ωо спадает немонотонно. На рис. 15.2.2 можно также видеть, что при определенных значениях индекса модуляции (2.405, 5.52, 8.654 и т.д.) несущая частота wo в спектре сигнала полностью отсутствует. Форма амплитудный спектров модулированных сигналов при разных индексах модуляции приведена на рис. 15.2.3.
Рис. 15.2.3. Модули спектров ЧМ сигнала при разных индексах модуляции.
(несущая частота 2500 Гц, гармоника модуляции 25 Гц, шкала частот в Гц относительно несущей)
С ростом индекса модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, расширяется. Практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией определяется по формуле:
Ппракт = 2(b+1)W, (15.2.8)
т.е. спектральными составляющими с номерами k>(b+1) пренебрегают. Формирование реальных сигналов, как правило, выполняется при b>>1, при этом эффективная ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:
Ппракт » 2bW = 2wd. (15.2.9)
Отсюда следует, что по сравнению с АМ – сигналами, полоса частот которых равна 2W, для передачи сигналов с угловой модуляцией требуется полоса частот, в b раз большая. С другой стороны, именно широкополосность ЧМ и ФМ сигналов обеспечивает их большую помехоустойчивость по сравнению с АМ сигналами.
Сигналы с многотональной угловой модуляцией отличаются еще большей сложностью спектрального состава. В их спектре присутствуют не только боковые частоты с гармониками частот модулирующего сигнала, но и боковые комбинационные частоты типа wo±W1±W2± ...Wi, со всеми возможными комбинациями частот модулирующего сигнала Wi. При непрерывном спектре модулирующего сигнала спектры ЧМ и ФМ сигналов также становятся непрерывными.
Демодуляция УМ – сигналов много сложнее демодуляции сигналов АМ.
При демодуляции записанных в ЗУ цифровых сигналов обычно используется метод формирования комплексного аналитического сигнала с помощью преобразования Гильберта:
ua(t) = u(t) + j uh(t),
где uh(t) – аналитически сопряженный сигнал или квадратурное дополнение сигнала u(t), которое вычисляется сверткой сигнала u(t) с оператором Гильберта (1/πt):
uh(t) = (1/π)
u(t') dt'/(t-t').Полная фаза колебаний представляет собой аргумент аналитического сигнала:
y(t) = arg(ua(t)).
Дальнейшие операции определяются видом угловой модуляции. При демодуляции ФМ сигналов из фазовой функции вычитается значение немодулированной несущей ωоt:
j(t) = y(t) - ωot.
При частотной модуляции фазовая функция дифференцируется с вычитанием из результата значения частоты ωо:
j(t) = dy(t)/dt - ωo.
В принципе, данный метод может применяться и в реальном масштабе времени, но с определенной степенью приближения, поскольку оператор Гильберта слабо затухает.
При демодуляции в реальном масштабе времени используется квадратурная обработка, при которой входной сигнал умножается на два опорных колебания со сдвигом фазы между колебаниями в 90о:
u1(t) = u(t) cos ωot = Um cos(ωot+j(t) cos ωot = ½ Um cos j(t) + ½ cos(2wot+j(t)),
u2(t) = u(t) sin ωot = Um cos(ωot+j(t) sin ωot = - ½ Um sin j(t) + ½ sin(2wot+j(t)).
Из этих двух сигналов фильтрами низких частот выделяются низкочастотные колебания, и формируется аналитический сигнал:
ua(t) = ½ Um cos j(t) - ½j Um sin j(t).
Аргумент этого аналитического сигнала, как и в первом случае, представляет полную фазу колебаний, обработка которой выполняется аналогично.