Тема 15. Модулированные сигналы мир создан ради богов и людей (стр. 5 из 6)
Квадратурная модуляция позволяет модулировать несущую частоту одновременно двумя сигналами путем модуляции амплитуды несущей одним сигналом, и фазы несущей другим сигналом. Уравнение результирующих колебаний амплитудно-фазовой модуляции:
s(t) = u(t) cos(ωot+j(t)).
Сигнал s(t) обычно формируют в несколько другой последовательности, с учетом последующей демодуляции. Раскроем косинус суммы и представим сигнал в виде суммы двух АМ-колебаний.
s(t) = u(t) cos ωot·cos j(t) – u(t) sin ωot·sin j(t).
При a(t) = u(t) cos j(t) и b(t) = -u(t) sin j(t), сигналы a(t) и b(t) могут быть использованы в качестве модулирующих сигналов несущих колебаний cos ωot и sin ωot, сдвинутых по фазе на 90о относительно друг друга:
s(t) = a(t) cos ωot + b(t) sin ωot.
Полученный сигнал называют квадратурным (quadrature), а способ модуляции - квадратурной модуляцией (КАМ).
Спектр квадратурного сигнала может быть получен непосредственно по уравнению балансной модуляции (15.1.17) для суммы двух сигналов:
S(ω) = ½ A(ω+ωo) + ½ A(ω-ωo) – ½j B(ω+ωo) + ½j B(ω-ωo).
Демодуляция квадратурного сигнала соответственно выполняется умножением на два опорных колебания, сдвинутых относительно друг друга на 90о:
s1(t) = s(t) cos ωot = ½ a(t) + ½ a(t) cos 2ωot + ½ b(t) sin 2ωot,
s2(t) = s(t) sin ωot = ½ b(t) + ½ a(t) sin 2ωot - ½ b(t) cos 2ωot.
Низкочастотные составляющие a(t) и b(t) выделяются фильтром низких частот. Как и при балансной амплитудной модуляции, для точной демодуляции сигналов требуется точное соблюдение частоты и начальной фазы опорного колебания.
Пример моделирования квадратурной модуляции в системе Mathcad.
Моделирование выполняется в дискретной форме.
N := 2999 n := 0 .. N Dt := 0.001 'Интервал и шаг дискретизации (в сек).
f0 := 50 f1 := 2 f2 := 3 'Частоты в Гц несущей, первого и второго сигналов.
s1n := sin(2·p·f1·n·Dt) 'Первый модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).
s2n := sin(2·p·f2·n·Dt) 'Второй модулирующий сигнал (моногармоника с амплитудой 1).
b :=10 jn := b·s2n 'Перенос информации s2n на фазу
un := s1n·cos(2·p·f0·n·Dt+jn) 'Амплитудно-фазовая модуляция
U := CFFT(u) Df := 1/[(N+1)·Dt] 'БПФ и шаг по частоте
an := s1n·cos(jn) bn := s1n·sin(jn) 'Формирование модулирующих сигналов
sn := an·cos(2·p·f0·n·Dt) + bn·sin(2·p·f0·n·Dt) 'Квадратурный сигнал. Сравнением с сигналом
'un нетрудно убедится в их идентичности,
'а, следовательно, идентичны и их спектры.
Демодуляция квадратурного сигнала.
u1n := sn·cos(2·p·f0·n·Dt) 'Раздельная синхронная демодуляция сигналов an и bn. Графики
u2n := sn·sin(2·p·f0·n·Dt) 'сигналов u2n и bn смешены на -2 для представления в одном поле.
U1 := CFFT(u1) U2 := CFFT(u2) 'Спектры сигналов, БПФ.
M := 50/Df m := M .. N+1-M U1m := 0 U2m := 0 'Удаление высоких частот (после 50 Гц).
u3 := ICFFT(U1) u4 := ICFFT(U2) 'ОБПФ оставшихся низких частот спектра. На графиках
'амплитуды сигналов u3n и u4n увеличены в 2 раза
'для сопоставления c исходными сигналами an и bn.
15.3. Внутриимпульсная частотная модуляция [1].
Сигнал с внутриимпульсной частотной модуляцией – это радиоимпульс, высокочастотное заполнение которого имеет переменную частоту.
 Рис. 15.3.1. ЛЧМ – сигнал. |
ЛЧМ – сигналы. Если закон изменения мгновенной частоты заполнения имеет линейный характер, то такие сигналы носят название ЛЧМ – сигналов (линейная частотная модуляция). Наиболее широкое применение они получили в радиолокации. Пример ЛЧМ – сигнала с огибающей прямоугольной формы приведен на рис. 15.3.1.
ЛЧМ – сигналы имеют одно замечательное свойство. Если сигнал подать на частотно-зависимую линию задержки, время задержки сигнала которой велико на малых частотах (в начальной части ЛЧМ – сигнала) и уменьшается по мере нарастания частоты в ЛЧМ – сигнале, то на выходе такой линии происходит "сжатие" сигнала в один период высокочастотного колебания путем суммирования амплитудных значений всех периодов сигнала. При этом происходит увеличение амплитуды выходного сигнала и уменьшение статистических шумов, так как суммируемые одновременно по этим же периодам шумы не коррелированны.
Для модели радиоимпульса с прямоугольной огибающей примем его длительность равной tи, а точку t = 0 поместим в центр радиоимпульса. Допустим также, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу со скоростью m (с-2), при этом:
w(t) = wo + mt. (15.3.1)
Девиация частоты за время длительности импульса и полная фаза сигнала:
Dw = m×tи. (15.3.2)
y(t) = wot + m t2/2. (15.3.3)
Уравнение ЛЧМ – сигнала:
u(t) =
(15.3.4)Спектр прямоугольного ЛЧМ – сигнала вычисляется через преобразование Фурье. Девиация частоты за время длительности импульса по сравнению с несущей частотой обычно мала (Dw << wo) и форма спектра зависит от так называемой базы импульса:
В = Dw×tи = m×tи2. (15.3.5)
На рис. 15.3.2 приведен пример формы спектральной плотности ЛЧМ – сигнала при малом значении базы в области несущей частоты сигнала.
Рис.15.3.2. Спектр ЛЧМ- сигнала. Рис. 15.3.3. Спектр при B>>1.
На практике значение базы сигналов обычно много больше 1. Увеличение базы сопровождается расширением полосы спектра Dw, при этом в пределах этой полосы модуль спектральной плотности практически постоянен и равен Um×
. Пример спектра приведен на рис. 15.3.3.15.4. импульсно – модулированные сигналы.
В импульсной модуляции в качестве носителя модулированных сигналов используются последовательности импульсов, как правило – прямоугольных. В беспроводных системах передачи данных (в радиосвязи) эти последовательности заполняются высокочастотными колебаниями, создавая тем самым двойную модуляцию. Как правило, эти виды модуляции применяются при передаче дискретизированных данных. Для прямоугольных импульсов наиболее широко используются амплитудно-импульсная (АИМ) и широтно-импульсная (ШИМ) модуляция.
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) заключается в изменении приращения амплитуды импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной длительности импульсов и периоде их следования:
U(t) = Uo + k·s(t), tи = const, T = const. (15.4.1)
Спектр АИМ рассмотрим на примере модулирования однотонального сигнала s(t), приведенного на рис. 15.4.1. Напишем уравнение модулированного сигнала в следующей форме:
u(t) = (1+M cos Wt)·f(t), (15.4.2)
где f(t) – периодическая последовательность прямоугольных импульсов с частотой wo, которую можно аппроксимировать рядом Фурье (без учета фазы):
f(t) = Uo +
Un cos nwot. (15.4.3)Подставляя (15.4.3) в (15.4.2), получаем:
u(t) = (1+M cos Wt)Uo+
Un cos nwot ·(1+M cos Wt)u(t) = Uo + UoM cos Wt +
Un cos nwot ++ 0.5M
Un cos (nwo+W)t + 0.5M Un cos (nwo-W)t. (15.4.2)Форма спектра, в начальной части спектрального диапазона, приведена на рис. 15.4.1. В целом, спектр бесконечен, что определяется бесконечностью спектра прямоугольных импульсов. Около каждой гармоники nwo спектра прямоугольных импульсов появляются боковые составляющие nwo±W, соответствующие спектру моделирующей функции (при многотональном сигнале – боковые полосы спектров). При дополнительном высокочастотном заполнении импульсов весь спектр смещается в область высоких частот на частоту заполнения.
Рис. 15.4.1.
Широтно-импульсная модуляция (ШИМ, в английской терминологии pulse width modulation, PWM), которую иногда называют модуляцией по длительности импульсов (ДИМ), заключается в управлении длительностью импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной амплитуде импульсов и периоде следования по фронту импульсов: