Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Математическое моделирование в системах электроснабжения» для студентов 3 курса, обучающихся по направлению 140200 «Электроэнергетика» С (стр. 3 из 7)
MS Excel автоматически создаст в рабочей книге новый лист «Отчет по результатам 1», представленный на рис. 1.10.
Рис.1.10 Отчет по результатам решения задачи
Отчет состоит из трех таблиц.
В первой таблице указана ячейка целевой функции, ее исходное (начальное) значение и полученный оптимальный результат – 2040 у.е.
Во второй таблице приведены номера ячеек, наименование, исходное и полученные в результате решения задачи значения переменных: табуретов, стульев и столов. Из таблицы видно, что для получения максимальной прибыли мы должны произвести 24 стула и 3 стола. Изготавливать табуретки в данной постановке задачи экономически не целесообразно.
В третьей таблице представлены данные по ограничениям решаемой задачи. Из таблицы видно, что при планируемом оптимальном объеме производства доски и фурнитура будут израсходованы полностью, а ткани останется 2 у.е.
1.2.2. Решение задач НЕлинейного программирования
Решение задач нелинейного программирования принципиально ничем не отличается от решения задач линейного и целочисленного программирования. Единственное отличие заключается в том, что при установке параметров поиска решения в диалоговом окне «Параметры поиска решения» (рис. 1.5), необходимо снять галочку в строке «Линейная модель».
Кроме того, процедура поиска решения задач нелинейного программирования более критична к исходным начальным данным.
Для решения задач нелинейного программирования в Excel реализовано два метода: метод Ньютона и метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса. Выбор метода решения производится в диалоговом окне «Параметры поиска решения». В качестве критерия останова поиска решения в Excel используется следующее условие:
(1.6)Значение ε вводится в окне «Параметры поиска решения» в строке «Относительная погрешность».
В соответствии с выражением (1.6) начальные значения переменных желательно назначать близкими к оптимальным значениям, что значительно ускорит процесс решения задачи. Обязательным условием является требование неравенства целевой функции в начальной точке нулю, иначе при вычислении погрешности по выражению (1.6) возможно деление на ноль.
1.2.3. Решение ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ
Транспортная задача (ТЗ) является частным типом задачи линейного программирования и определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.
Задачи транспортного типа широко распространены в практике. К ним сводятся многие задачи линейного программирования – задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования и др.
И хотя ТЗ может быть решена одним из методов решения любой задачи линейного программирования, ее математическая модель и структура ограничений имеют ряд специфических особенностей.
Стандартная ТЗ формулируется следующим образом. Имеется m пунктов отправления (или пунктов производства) Аi…,Аm, в которых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве a1,...,аm единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов потребления) В1,..., Вm, потребность которых в указанных продуктах составляет b1, ..., bn единиц. Известны также транспортные расходы Сij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта. Aiв пункт Вj, i
1,2…, m; j = 1,2..., n.Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок.
Пусть хij- количество единиц продукта, поставляемого из пункта Аiв пункт Вj. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:
→ min (1.7)Таким образом, целевая функция ТЗ представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом.
Математическая модель ТЗ содержит также две группы ограничений.
Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта
.
, где i = 1. …., m (1.8)Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте.
, где j = 1. …., n (1.9)Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:
xij
0, i 1, ..., m; j 1, ..., n. (1.10)Из (1.8), (1.9) следует, что сумма запасов продукции во всех пунктах отправления должна равняться суммарной потребности во всех пунктах потребления, то есть
(1.11)Если условие (1.11) выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (замкнутая модель), в противном случае – несбалансированной (открытая модель). Поскольку ограничения модели ТЗ (1.8), (1.9) могут быть выполнены только при сбалансированной ТЗ, то при построении транспортной модели необходимо проверять условие баланса (1.11). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный пункт потребления, который будет формально потреблять существующий излишек запасов, то есть
(1.12)Если суммарные потребности превышают суммарные запасы, то необходим дополнительный фиктивный пункт отправления, формально восполняющий существующий недостаток продукции в пунктах отправления:
(1.13)Введение фиктивного потребителя или отправителя повлечет необходимость формального задания фиктивных тарифов
(реально не существующих) для фиктивных перевозок.Так как нас интересует суммарная стоимость всех перевозок, можно принять величину фиктивного тарифа равной нулю
=0, что не изменит значение искомой целевой функции.Рассмотрим процедуру решения транспортной задачи на конкретном примере.
Задача 2
Крупная оптовая фирма занимается поставкой некоего товара в магазины города. Товар поставляется из трех складов, месячные запасы которых составляют 1500, 1300 и 1600 единиц товара соответственно. Товар нужно развести по трем магазинам, месячные потребности которых равны 2100, 1600 и 1000 единиц товара соответственно. Транспортные расходы по доставке единицы товара из соответствующего склада в соответствующий магазин приведены в табл.1.2. Необходимо определить оптимальные по транспортным расходам способы доставки товара со складов в магазины.
Таблица 1.2
Транспортные расходы по доставке товара, руб/шт.
 Магазины Склады | Магазин 1 | Магазин 2 | Магазин 3 |
| Склад 1 | 80 | 200 | 70 |
| Склад 2 | 100 | 105 | 120 |
| Склад 3 | 120 | 70 | 90 |
Составим в MS Excel транспортную матрицу для решения задачи, рис.1.11
Рис.1.11 Транспортная матрица задачи в MS Excel
Проверяем баланс ТЗ.
Суммарные запасы составляют
= 4400 шт. товара, суммарная потребность 
= 4700 шт.Транспортная задача не сбалансирована – спрос превышает предложение. Приведем ТЗ к сбалансированной, добавив еще один фиктивный склад, стоимость перевозки товара в который будет равна нулю.
Определим количество товара на фиктивном складе
= 4700 – 4400 = 300 шт. и внесем изменения в лист книги MS Excel. 
Рис.1.12 Сбалансированная транспортная матрица
Сбалансированность транспортной матрицы легко проверить средствами Excel, последовательно вычислив суммы ячеек В8:D8 и Е4:Е7. Суммы должны быть одинаковыми.