Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов VI курса специальности 060400 "Финансы и кредит" (стр. 4 из 8)
Как следует из (14), дюрация зависит от трех факторов – ставки купона k, срока погашения n и доходности YTM. Эта зависимость для 20-летней облигации при различных ставках k и YTM показана рис. 2.
Рис. 2. Зависимость дюрации от показателей k и YTM
Графическая иллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями n, k и YTM позволяет сделать ряд важных выводов:
· дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е.: при k = 0, D = n;
· дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения: при k > 0, D < n;
· с ростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается и обратно.
Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из (14), отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.
Дюрацию часто интерпретируют как средний ожидаемый срок платежей или погашения обязательства с учетом его современной стоимости. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).
Другая интерпретация дюрации – средний срок, в течение которого средства связаны в активе с фиксированным доходом (т.е. срок окупаемости данной инвестиции).
Вернемся еще раз к формуле (14). Обозначим отношение дисконтированного платежа к дисконтированной стоимости всего потока в конкретный момент времени t через wt, т.е.:
.Тогда (14) примет следующий вид:
  | (15 ) |
В полученном соотношении величины wt выполняют роль удельных весов для соответствующих моментов времени, показывая их вклад в современную стоимость потока платежей. При этом величины wtне могут быть отрицательными. Нетрудно показать, что их сумма всегда равна 1:
Эти свойства весов wt позволяют условно трактовать их как вероятности, а формулу (15) и дюрацию – как математическое ожидание срока погашения обязательства.
Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.
В общем случае, процентный риск облигации может быть измерен показателем эластичности ее цены P по отношению к рыночной ставке r.
Если r = YTM, то можно показать, что:
 | (16 ) |
В расчетах более удобно использовать показатель модифицированной дюрации (modified duration – MD):
 | (17 ) |
Тогда:
 | (18 ) |
Формулу (18) часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению.
Пример 1.
Предположим, что облигация номиналом в 1000 руб. из примера со сроком погашения 3 года и ставкой купона 7% куплена по номиналу. При этом инвестор ожидает рост рыночной процентной ставки на 1%. Определить ожидаемое изменение цены облигации при условии, что ее дюрация равна 2,8.
Определим ожидаемое процентное изменение YTM:
DYTM = 0,01 / (1 + 0,07) = 0,0093.
Найдем величину MD:
MD = 2,8 / 0,0093 = 2,62.
Предполагаемое процентное изменение цены облигации составит:
DР = - (0,01 ´ 2,62) = -0,0262 » -2,6%.
Таким образом, курс облигации должен понизиться на 2,6%. Поскольку облигация была куплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен: 100 - 2,6 = 97,4%.
Осуществим проверку нашего предположения (т.е. определим курс облигации, при условии, что YTM = 8%):
Завершая рассмотрение свойств дюрации, кратко остановимся на недостатках, присущих данному показателю.
Первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р (см. рис. 1). Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применение показателей D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.
Другим существенным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска является неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются также, как и долгосрочные. Например, если доходность по 3-х месячным облигациям изменилась на 1%, то и доходность 15-летних облигаций также должна измениться на 1%. Нереалистичность подобного допущения очевидна.
Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе.
Как было показано выше, причинами проблем, возникающих при использовании дюрации, является нелинейность взаимосвязи между ценой и доходностью. В качестве ее характеристики используется показатель выпуклости кривой «цена-доходность», вычисляемый по формуле:
 | (19 ) |
Из (19) следует, что выпуклость прямо зависит от срока погашения n и дюрации соответственно. Можно также показать, что выпуклость является возрастающей функцией от последней. В целом, свойства выпуклости по отношению к n и k аналогичны свойствам дюрации.
Вместе с тем, выпуклость связана положительной зависимостью с изменениями процентных ставок (доходности к погашению). Объяснение данного свойства следует из того факта, что выпуклость можно определить как разность между фактической ценой облигации и ее ценой, определенной с использованием модифицированной дюрации. Более удобную интерпретацию этого факта можно получить из (15). Если считать веса wtвероятностями, то выпуклость можно рассматривать как дисперсию среднего срока погашения обязательства. При этом (19) можно переписать в виде:
 | (20 ) |
Отсюда следует, что чем больше выпуклость (разброс), тем больше кривизна графика цена-доходность (рис. 1.).
Совместное использование дюрации и выпуклости при анализе активов с фиксированным доходом позволяет существенно повысить точность оценки изменений их стоимости. Например, более эффективную формулу для определения будущей цены облигации в зависимости от изменений доходности можно задать в следующем виде:
 | (21 ) |
где Р – будущая цена при условии, что доходность изменится на величину ¶(YTM); Р0 – текущая цена; D – дюрация; C – выпуклость.
Рассмотренные свойства количественных характеристик облигаций являются теоретической базой для разработки моделей управления портфелями ценных бумаг с фиксированным доходом. В частности, они широко используются для балансировки активов и обязательств, хеджирования портфелей от процентного риска.
Можно сформулировать следующие правила хеджирования процентного риска.
1. Для базовой ставки процента r текущая стоимость актива должна быть равна текущей стоимости долга: PV(Актив) = PV(Долг).
2. Для базовой процентной ставки r дюрация актива должна совпадать с дюрацией долга: D(Актив) = D(Долг).
3. Выпуклость актива должна быть больше выпуклости долга: С(Актив) > С(Долг).
Выполнение двух первых правил приводит к так называемому неполному хеджированию. Этот способ, разработанный известным экономистом П. Самуэльсоном, называют иммунизацией (immunization). При этом портфель становится нечувствительным к небольшим изменениям процентной ставки.