АЛЬФРЕД ТАРСКИЙ. Краткая справка из БСЭ.
ТАРСКИЙ Альфред (1902—88) — польский логик, математик и методолог науки, один из виднейших представителей львовско-варшавской школы; с 1938 в США. Т. принадлежит ряд значительных результатов в теории моделей, определимости,понятий, в разработке проблем разрешимости, различных разделов математической логики и оснований математики. Т.— один из основоположников логической семантики. Значительное место в творчестве Т. занимают проблемы методологии дедуктивных наук, исследования познавательных возможностей и границ применимости формальных методов (аксиоматического метода, формализации и др.) в научном познании. В основополагающей для последующего развития логической семантики и металогике работе “Понятие истины в формализованных языках” (1936) Т. раскрыл специфику содержания и использования понятия истины в формализованных теориях, дал определение этого понятия для большой группы формализованных языков (Истина в формализованных языках). С философско-методологической т. зр: наиболее важный результат, полученный Т. в этой работе,— доказательство внутренней ограниченности выразительных возможностей формализованных теорий (невозможность строго формальными средствами передать все то познавательное содержание, к-рое выражается достаточно богатыми содержательными научными теориями, подвергшимися формализации). Наряду с теоремами Гёделя о неполноте достаточно богатых формальных систем результаты Т. стали важной вехой на пути осознания принципиальной невозможности полной формализации научного знания, способствовали углублению представлений о диалектике взаимосвязи содержательного и формального в познании. В 30-х гг. философские взгляды Т. были близки к неопозитивизму; впоследствии он выступил с критикой формализма и субъективизма в истолковании логики и математики. Осн. соч.: “Введение в логику и методологию дедуктивных наук” (1936, рус. пер. 1948), “Семантическая концепция истины и основания семантики” (1944), “Логика, семантика, метаматематика” (1956), “Истина и доказательство” (1972).
Выдающийся польский математик и логик Альфред Тарский (1901-1984) считал, что “вплоть до конца девятнадцатого столетия понятие доказательства имело главным образом психологический характер” . По существу, на аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, кроме интуитивной убедительности, хотя уже и начала ощущаться потребность в анализе самого понятия “доказательства”. Такой анализ был проделан логиками, так что, начиная с работ крупнейшего немецкого математика Готлоба Фреге (1848-1925), который первым в явной форме ввел в математическую логику кванторы и систематически использовал их, было определено новое понятие “формального доказательства”. Осуществив дедуктивное аксиоматическое построение математической логики, и применив ее в качестве метода обоснования арифметики, Фреге представил математику как продолжение логики. И, тем не менее, за исключением некоторых элементарных теорий, Альфред Тарский делает вывод “о несовпадении понятий истинности и доказуемости” относительно всех формализованных теорий, имеющий почти универсальный характер. “Тот факт, что философские следствия этого результата негативны по своему характеру, нисколько не уменьшает его значения”, – утверждает он . Даже в области математики понятие доказуемости, вообще говоря, не замещает понятия истинности. Однако именно доказательство по-прежнему остается единственным методом в любой математической теории, используемым для утверждения истинности ее предложений.
Из истории метаматематических исследований во Львовско-варшавской школе
Первой публикацией в области метаматематики является книжка К. Айдукевича "Из методологии дедуктивных наук". Правда, термин "метаматематика" в ней не используется и автор уже много позже, в 1960 г., все еще определяет ее как "первую польскую работу в области методологии дедуктивных наук, остающуюся под влиянием математической логики". Термин "метаматематика" вошел в обиход в школе, главным образом в ее варшавской части, основной состав которой составляли математики с философской родословной, обязанной "апостатам" философии - Лесьневскому и Лукасевичу. Однако следует заметить, что в польском восприятии этот род занятий определялся как методология дедуктивных наук. А.Тарский - ученик Лесьневского оказался главным действующей фигурой в проведении метаматематических исследований, которые должны были свободный стиль комментариев к логической системе преобразовать в точные методы изучения этих систем путем разделения уровней языка на язык-объект и метаязык. В проекте метаматематики Тарский учитывал идеи Гильберта, который провозглашал создание теории дедуктивных систем под названием "метаматематики". Свое видение метаматематики Тарский изложил следующим образом: "Дедуктивные дисциплины в том смысле составляют предмет методологии дедуктивных наук, которая сегодня вслед за Гильбертом называется метаматематикой, в каком пространственные объекты являются предметами геометрии, а звери - зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представлены в форме, пригодной для научных исследований. Например, непригодны те, которые не основаны на определенном логическом базисе, не имеют точных правил вывода и утверждения которых, как правило, сформулированы в многозначных и нечетких терминах естественного языка, одним словом те, которые не формализованы. В конечном счете метаматематические исследования ограничиваются дискуссиями о формализованных дедуктивных дисциплинах. Короче говоря, метаматематика не должна считаться единой теорией. С целью исследования каждой дедуктивной теории может быть построена специальная метадисциплина. Однако эта стадия имеет более общий характер: целью в ней является уточнение ряда важных метаматематических понятий, которые общи отдельным метадисциплинам, и определение основных свойств этих понятий. Одним из результатов этого исследования является то, что некоторые понятия, которые могут быть определены с помощью отдельных метадисциплин, здесь будут рассмотрены как первичные понятия и охарактеризованы последовательностью аксиом". В этом высказывании важным является стремление использовать точные методы в методологии, применение которых диктуется самим предметом - дедуктивными дисциплинами. В этом смысле намерения Тарского совпадали со стремлением Гильберта, однако в вопросе точности методов имеются и расхождения. Метаматематика развивалась Гильбертом в связи с доказательствами непротиворечивости, тогда как в варшавской школе метаматематические исследования не определялись достижением каких-либо конкретных целей, а состояли в уточнении главным образом семантических понятий. Кроме того, и это особенно важно подчеркнуть, Гильберт в метаматематических исследованиях допускал использование только финитных методов, составляющих ядро его программы формализма, тогда как "методология дедуктивных наук" понималась в Варшаве независимо от той или иной философии математики и была направлена на формализацию отдельных семантических понятий с единственной, пожалуй, целью - освободиться от парадоксов, антиномий и прочих химер, препятствующих введению точных методов в методологию вообще, и дедуктивных наук в частности.
Обращаясь к творчеству Тарского как одного из создателей матаматематики нельзя не подчеркнуть роль Лесьневского, установок которого в методе его ученик придерживался неукоснительно, что вовсе не означает приверженности Тарского, например, к концепции радикального номинализма, которую он перестал разделять именно в процессе развития методологии дедуктивных наук. Основным методом, оказавшимся достаточно универсальным, а тем самым пригодным для построения метаматематики было определение. Определения послужили инструментом Тарскому и при написании одной из его первых работ - "О первичном выражении логистики" (докторская диссертация), они же явились высшей и конечной целью его метаматематических исследований, как например, определение понятия истинного предложения. В диссертации еще невозможно найти разделение уровней языка, а комментарии к утверждениям заменяют собой по сути их доказательство, но шаг за пределы логической системы, названный позже методологическим, сделан. Во вступлении к докторским тезисам Тарский пишет: "Я не провожу свои рассуждения на основе какой-то определенной системы логистики" . Но не смотря на эту оговорку "логическую теорию типов" Лесьневского он считает безупречной возможно потому, что ее развитие происходит путем определений, ведь именно их Тарский выбирает в качестве средства решения поставленной задачи: "Можно ли построить логическую систему, принимая знак эквивалентности как единственное первичное выражение (очевидно, кроме квантификаторов)". Совершенно очевидно, что это вопрос метатеоретического исследования Прототетики Лесьневского, однако сформулированный уже безотносительно к самой системе, которая служит источником инспираций при введении прочих логических понятий, в том числе констант "истина" и "ложь", отсутствующих у Лесьневского. (Роль константы "истина" у Лесьневского косвенно представляли предложения Онтологии). Следует особенно подчеркнуть, что Тарский не прибегает к какому-либо отдельному знаку "по определению" для введения необходимых ему констант, но, как Лесьневский, использует эквивалентность. Основное утверждение его работы составляет предложение, определяющее конъюнкцию, тогда как все прочие логические знаки вводятся на основании этого знака и принятых дефиниций