§ 2. Горизонт.
Ключевым понятием альтернативной теории множеств является понятие горизонта. Каждый наш взгляд, куда бы он ни был направлен, всегда чем-то ограничен. Либо на его пути оказывается твёрдая граница, чётко его пресекающая, либо он ограничен горизонтом, в направлении к которому утрачивается ясность нашего видения. Например, наш взгляд на окружающее пространство, сосредоточенный на его размерности, чётко ограничен тремя измерениями. Горизонтом ограничено наше видение вдаль, а также вглубь, т.е. при взгляде на всё более мелкие предметы. Однако взгляд не есть только видение глазами, но понимание реальности в самом широком и многостороннем смысле. С этой оговоркой нужный смысл можно выразить так: взгляд — это высматривание того, что возможно усмотреть, и рассматривание того, что мы усмотрели.
Твёрдые границы, чётко преграждающие взгляд, нам представляются как что-то непреложное, как необходимые рамки, в которые заключен сам мир. Напротив, в направлении к горизонту мир для нас остается открытым.
Часть мира, лежащая перед горизонтом, выделена нечётко. Чем ближе к горизонту находится нечто, тем хуже мы его видим. Именно в направлении к горизонту мы встречаемся с феноменом нечёткости. Чем ближе к горизонту, тем более ощутимо этот феномен проявляется. Но все нечёткое указывает за себя, продолжается дальше или плавно переходит во что-то иное. Поэтому мир, лежащий перед горизонтом, должен продолжаться за горизонт, что, собственно, и означает, что мир открыт в направлении к горизонту. Иначе говоря, мы воспринимаем мир таким образом, что он продолжается и за горизонтом, но там остается ещё не познанным.
Горизонт не занимает определенного положения в мире, он может перемещаться. Существующий горизонт можно нередко отдалить или «преодолеть», и это укрепляет нашу уверенность, что мир продолжается за горизонтом. Но, строго говоря, за горизонт попасть мы не можем. Преодоление существующего горизонта означает всего лишь, что перед горизонтом оказалось нечто, бывшее прежде за горизонтом; вернее, мы представляем его себе так, что оно прежде было за горизонтом, пока мы горизонт не подвинули. Сам по себе горизонт, пожалуй, является самой непреложной границей, в которой мы заключены и которую не можем пересечь. Но поскольку мы понимаем мир так, что он продолжается и за горизонтом, то горизонт является для нас не границей мира, а лишь границей нашего взгляда на мир.
Итак, горизонт тоже является по-своему чёткой и прочной границей, но в отличие от границ, которые чётко прерывают наш взгляд на мир и которые мы воспринимаем как границы самого мира (например, упомянутая выше трёхмерность пространства), горизонт ограничивает лишь наше видение мира, но мы не представляем его так, что он ограничивает мир.
В альтернативной теории множеств изучается естественная бесконечность, т. е. та форма бесконечности, которая присутствует в феномене нечёткости. Термины «конечный класс» или «конечное множество», равно как «бесконечный класс» или «бесконечное множество», приобретают другой смысл, т. е. связаны с иными явлениями, нежели в классической математике.
Под конечным классом мы понимаем такой класс, с которым можно встретиться так, что при этом на совокупности его элементов нечёткость будет преодолена. Более формальное определение таково: класс X конечен, если каждый его подкласс, включая сам этот класс, есть множество. Из определения легко выводится конечность пустого и одноэлементных классов и тот факт, что объединение двух конечных классов конечно. Однако не следует думать, что любой классически-конечный класс конечен. Казалось бы, если X — классически конечное множество, то его можно получить из пустого множества поочерёдным добавлением отдельных элементов, т. е. X = Æ È {X1} È … È {Xn}, где X = {X1, … , Xn}. Однако нечёткость, часто неустранимая, может скрываться за использованием многоточий. При классическом понимании они часто заменяют такие длинные записи, что мы не могли бы их обозреть, а тем более записать соответствующее доказательство конечности.
Выполнимость полной индукции для всех натуральных чисел нами никак не доказана, и доказать её мы не можем. Чтобы показать всю проблематичность классических представлений о натуральных числах, мы должны предъявить какое-либо иное возможное представление натуральных чисел, лежащих за горизонтом, а именно, такое, которое не согласовано с полной индукцией. Дадим волю фантазии и вообразим, что после долгого прибавления единицы мы попадём где-то далеко за горизонтом в «чёрную дыру». Это значит, что мы обнаружим, что число, до которого мы дошли, уже не увеличивается от прибавления единицы. Когда точно это произошло, нам, конечно, неизвестно, подобно тому, как нельзя точно определить, в какой момент посаженное семечко превращается в развесистое дерево. В этой «чёрной дыре» мы можем остаться навсегда или же, при дальнейшем неустанном прибавлении единицы, выйдем из неё и попадем в другую «чёрную дыру». Нам могут возразить, что никакой «чёрной дыры» в последовательности натуральных чисел быть не может, так как если бы для какого-то числа n имело место n = n + 1, то было бы также 0 = 1. Это, однако, нельзя доказать простым вычитанием числа п из обеих частей равенства, поскольку такое правило основывается как раз на том, что в собрании натуральных чисел «чёрной дыры» нет. Тогда мы могли бы последовательно вычитать по единице из обеих частей. О том, что мы в конце концов придем к результату 0 = 1, мы заключаем лишь на основании принципа полной индукции, который при наличии «чёрной дыры» за горизонтом не выполняется. И если бы даже путем такого долгого вычитания мы и пришли к равенству 0 = 1, это вовсе не значило бы, что мы действительно доказали, что 0 = 1, и тем самым пришли к противоречию. Это означало бы лишь, что такие длинные доказательства неприемлемы. Доказательство тоже ведь имеет свою длину, и если эта длина достигает «чёрной дыры», то рассуждение утрачивает свою доказательную силу.
§ 3. Аксиомы альтернативной теории множеств.
Альтернативная теория множеств не является формальной системой, описанной набором аксиом, и причиной этого во многом является отсутствие строгого определения, что значит чёткость. Интуитивно мы это понимаем, и этим пониманием пока предлагается ограничиться. Но тем не менее, некоторые шаги по формализации теории предпринимаются. Начинается всё с определения универсума множеств.
Универсум множеств V есть собрание объектов, определённое следующим способом:
1. Пустое множество в него попадает.
2. Если в него попали множества x, у, то в него попадает и множество x È {y}.
3. Никакие другие объекты, кроме попадающих в это собрание согласно пунктам 1 и 2, в него не попадают.
Таким образом, в универсум множеств попадают множества Æ, {Æ} = Æ È {Æ}, {{Æ}} = Æ È {{Æ}}, {Æ,{Æ}} = {Æ} È {{Æ}} и т. д. Также в нём содержатся все натуральные числа в их неймановской модели (в неймановской модели число 0 кодируется пустым множеством, а число n кодируется множеством {s0, s1, … , sn-1}, где si — неймановская модель числа i).
Из всего универсума множеств можно выделить универсум наследственно-конечных множеств — те множества, которые можно построить по правилам 1 и 2 за конечное (в понимании альтернативной теории множеств) число шагов. Соответственно те из натуральных чисел, которые в него попадают, называются конечными натуральными числами (мы будем обозначать класс таких чисел через FN). Собрание конечных натуральных чисел представляет собой прямой путь, по которому можно шаг за шагом идти к горизонту (и ни шагу дальше).
Поскольку все наследственно-конечные множества располагаются до горизонта, для выполняются многие естественные свойства. Латинскими буквами обозначаются наследственно-конечные множества.
Аксиома экстенсиональности.
("x, y)(x = y Û ("z)(z Î x Û z Î y)).
Это утверждение означает, что множество однозначно задаётся совокупностью своих элементов.
Аксиома множества-последователя.
("x)("y)($z)(z = {u; u Î x Ú u = y}).
Здесь утверждается, что универсум наследственно-конечных множеств замкнут относительно операции, описанной в пункте 2.
Аксиома индукции. Пусть φ(х) — множественное свойство (то есть свойство, которое можно выразить на языке теоретико-множественных операций). Тогда имеет место
[φ(Æ) & ("x)("y)(φ(х) Þ φ(х È {y}))] Þ ("x) φ(х).
Данная аксиома разрешает ведение индукции по множеству конечных натуральных чисел. Таким образом, несмотря на то, что индукция по всем натуральным числам запрещена, в классе конечных натуральных чисел доказательство по индукции возможно. И это довольно естественно: ведь для любого конечного натурального числа мы можем явно выписать все индукционные переходы к нему приводящие, и доказательство всё ещё будет конечно.
Аксиома регулярности. Пусть φ(х) — множественное свойство такое, что ($z) φ(z). Тогда ($y)(φ(y) & ("u Î y)Øφ(u)).
Здесь утверждается, что для любого множественного свойства, которому удовлетворяет хотя бы одно множество, найдётся минимальное по включению множество, ему удовлетворяющее.
Помимо здесь перечисленных, автором вводится ещё некоторое количество аксиом, но их затруднительно здесь сформулировать, не вводя многочисленные и малопонятные без контекста определения. Наиболее примечательной из них кажется аксиома мощности, которая по сути утверждает, что любые два неперечислимых класса (то есть не конечных и не равномощных классу FN) равномощны.