Несмотря на то, что все вышеперечисленные утверждения названы аксиомами, в настоящей работе они доказываются (выводятся из определения наследственно-конечных множеств). Такое название, видимо, обусловлено тем, что при доказательстве дальнейших теорем автор уже не апеллирует напрямую к понятию чёткости, используя вместо этого данные аксиомы. Это позволяет вообще отказаться от всех не вполне формальных рассуждений, введя некоторую систему аксиом (хотя и довольно громоздкую), если вдруг возникнет такое желание.
§ 4. Мир за горизонтом.
Пока что всё сказанное относится к тому что, самое большее, уходит к горизонту или хотя бы допускает такое представление, что оно позволяет себя так разместить перед горизонтом. Однако, главная цель лежит за горизонтом. Там тоже есть мир, и нас интересует, какой он там. О том, что есть за горизонтом, ничего точно не известно, о том можно лишь фантазировать; за горизонтом может быть всё, что угодно. Правда, мир за горизонтом не отделен резко от мира перед горизонтом. К миру за горизонтом ведут пути, по которым туда можно двигаться, мы не попадаем в этот мир по мановению волшебной палочки. Мир перед горизонтом плавно переходит в мир за горизонтом. Значит, за горизонтом не может быть совсем уж что угодно, а только то, что «стыкуется» с миром перед горизонтом, дополняет его хотя бы каким-то удивительным образом, т. е. скорее подтверждает, а не опровергает его. Короче говоря, за горизонтом может быть лишь то, что там может быть, т. е. что возможно; но из того, что возможно, там может быть что угодно.
Предположение, согласно которому мир продолжается за горизонт, оставаясь таким же, как перед горизонтом, не лишено оснований. По крайней мере на некотором протяжении за горизонтом так должно быть. За горизонтом может встретиться и нечто непредвиденное, но оно не может лежать на самом горизонте. Горизонт не есть черта, проведенная в самом мире. Мы не представляем его себе как феномен мира, а лишь как феномен, сопровождающий наш взгляд на мир. Если бы какое-то явление, принадлежащее миру, находилось прямо на горизонте или касалось его с невидимой стороны, то это явление и было бы вполне определённой границей, пресекающей наше видение и фиксирующей положение горизонта. Короче говоря, за горизонтом мир продолжается плавно, и притом столь далеко, пока на пути не встанет какая-то преграда, принадлежащая самому миру.
Так как горизонт не занимает определенного положения в мире, мы можем его отдалить, увеличивая нашу зоркость. Если при таком усилении зоркости, т. е. удалении горизонта, мы натолкнёмся на неожиданное явление, то оно либо не позволит нам проникнуть дальше, либо само окажется перед горизонтом. Но если мы горизонт отдалим лишь немного, т. е. не настолько далеко, чтобы встретиться с таким явлением, то мир, лежащий перед горизонтом, хотя и расширится, но не изменится. Таким образом, с увеличением зоркости при взгляде на множества из универсума множеств мы приходим к какому-то более обширному собранию наследственно-конечных множеств. При этом усиление зоркости само по себе является нечётким феноменом, поэтому возможно, что наша зоркость может быть каким-то образом усилена ещё раз, или даже несколько. Пусть V — достаточно обширный класс наследственно-конечных множеств, который мог бы получиться в результате такого усиления, и для него всё ещё выполнены перечисленные выше аксиомы. Собрание всех его подклассов мы назовём расширенным универсумом. По сути от V хочется лишь, чтобы это был достаточно большой класс, который можно описать посредством разрабатываемой аксиоматической теории.
Поскольку следующее утверждение выполнено в классе наследственно-конечных множеств, естественно наложить такую аксиому и на V. Итак:
Аксиома элементов и подмножеств. Для любого объекта X имеет место X Î V Û X Í V & (X — множество).
Расширенный универсум является собственным предметом изучения альтернативной теории множеств. Таким образом, её применимость основана на вере в то, что классы не находящиеся в расширенном универсуме можно изучать так, как если бы они в нём находились, то есть их можно соответствующим образом закодировать. Например, в V должен быть класс, позволяющий закодировать класс всех атомов в Солнечной системе. В канторовском универсуме такое кодирование заведомо возможно. Можно возразить, что класс V может оказаться слишком малым для того, чтобы закодировать любой класс. Но что это на самом деле означало бы? Если бы, например, класс всех атомов Солнечной системы оказался слишком велик для кодирования, то причиной этого было бы то, что число таких атомов (если вообще можно говорить об их числе) ведёт себя как-то не так, как числа из класса V. Но в таком случае, по всей видимости, их нельзя было бы занумеровать и числами из канторовского натурального ряда. Значит, разница лишь в том, что при приложениях чистой альтернативной теории множеств нам заранее известны их границы, равно как и те допущения, на которых эти приложения основаны, тогда как в классической математике мы этого не знаем и не устаём удивляться, что мир ведёт себя не так, как, по нашему мнению, он должен себя вести.
Мы говорим, что задано направление к горизонту, если задана некоторая функция на классе конечных натуральных чисел (под функцией f : X ® Y мы понимаем множество пар {áx, f(x)ñ}). Если бы наша зоркость увеличилась, то эта последовательность как целое, конечно, исчезла бы, но её отдельные члены, а также заданное ею направление остались бы. То, что мы видим сейчас в указанном направлении, мы будем видеть и тогда, но мы лишь будем не в состоянии увидеть в точности то, что видим сейчас. Это значит, что мы увидим больше, но не сможем восстановить то, что мы видели прежде. Иными словами, данная последовательность, хотя бы на некотором протяжении за горизонтом, будет плавно продолжаться. Либо где-то за теперешним горизонтом она сама чётко прервётся, либо будет уходить к новому горизонту. Формализацией этого рассуждения служит ещё одна аксиома:
Аксиома продолжения. Пусть G: FN ® V есть функция. Тогда существует функция g такая, что G Í g.
Класс наследственно-конечных множеств мы осуществили посредством его определения. Это означает, что сначала мы определили, пусть нечётко, собрание всех наследственно-конечных множеств, актуализовали его, а уже потом осуществили соответствующий класс. Напротив, класс V мы постулировали. Это значит, что на основании некоторых доводов мы провозгласили его существующим, не определяя предварительно совокупность его элементов. Эта совокупность определяется как бы задним числом, т. е. самим этим классом.
Поскольку класс V мы рассматриваем как осуществлённый, а значит, все его элементы также считаем осуществлёнными раз и навсегда, то при осуществлении классов расширенного универсума у нас отпадает забота о том, чтобы все объекты, принадлежащие этим классам, уже были осуществлены.
Таким образом, осуществление классов расширенного универсума (посредством их определения) происходит следующим образом. Сначала имеем какое-то определяющее свойство, выделяющее некоторую совокупность объектов, и эту совокупность мы представляем как класс.
§ 5. Феномен неразличимости.
Вторым после горизонта феноменом, которому не нашлось места в европейской науке, явилась неразличимость. Для миропонимания, свойственного классической науке, это было правомерно. Различимость, а следовательно, и неразличимость суть нечёткие явления. Более того, неразличимость воспринимается как проявление несовершенства, так как нередко то, что теперь неразличимо, после усовершенствования наших способностей (т. е. при достаточном отдалении горизонта) становится различимым. Значит, задача науки не в том, чтобы исследовать неразличимость, а в том, чтобы её преодолевать.
С другой стороны, хотя нам иногда удается преодолеть тот или иной вид неразличимости, так же как нам иногда удается отдалить в том или ином направлении горизонт, но преодолеть неразличимость как таковую мы вряд ли в состоянии. Более того, если мы допустим, что мир — это всего лишь структура на множестве элементарных частиц, то если бы мы полностью преодолели неразличимость (т. е. если бы ясно различали каждые два объекта), мир явился бы нам лишь как множество обособленных объектов, вследствие чего исчез бы феномен непрерывности в том виде, как мы его знаем. Точнее говоря, если мы исключим неразличимость из предмета нашего изучения, а вопреки этому будем настаивать на теоретико-множественном представлении непрерывности, то нам останется лишь представлять её так, как это делает классическая математика — посредством абсолютной бесконечности. Мы не будем пускаться в подобные умозрения, а просто примем к сведению, что феномен неразличимости есть и устранить его мы не можем. Вместе с тем вышеупомянутая возможность преодоления неразличимости подсказывает, что как раз посредством неразличимости мы могли бы представить непрерывность и что вообще именно на этом феномене основана, пожалуй, сама познаваемость мира. И в самом деле, посредством неразличимости можно представить непрерывность в пространстве и во времени.
В расширенном универсуме основой понятия неразличимости является двуместный предикат (в терминах альтернативной теории множеств — двуместное отношение) который по паре объектов определяет, различимы ли они. Данный предикат на своей области определения симметричен и рефлексивен.
Одной из наиболее актуальных проблем теоретико-множественной математики является разработка представления континуума. Например, представление прямой как множества лежащих на ней точек многие столетия рассматривалось как совершенно недопустимое. И в каком-то смысле это правомерно. Когда мы представляем некий континуум как множество или класс точек, в нём лежащих, мы этот континуум раздробляем на отдельные точки и тем самым уничтожаем его, отнимая у него самое существенное — непрерывность и топологическую форму. Само по себе множество или класс не может быть непрерывным и не имеет топологической формы. Согласно привычным представлениям, непрерывность и форму придаёт множеству точек лишь пространство, в котором оно расположено. Однако теоретико-множественная математика не может идти этим путём, поскольку пространство — тоже континуум, требующий теоретико-множественного представления. Классическая математика в этом случае опять «склеивает» континуум из точек, явно описывая структуру этого склеивания. Таким образом не происходит осознания понятия континуума, а только его моделирование. С другой стороны, с точки зрения узких целей самой теории множеств, такое решение в некотором роде достаточно.