Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра высшей алгебры
Поршнев Евгений Андреевич
Альтернативная теория множеств (по книге Петра Вопенки)
Реферат по истории математики.
Научный руководитель: д. ф.-м. н. профессор Винберг Э. Б.
Ведущий семинары: к.ф.н. Катречко С.Л.
Москва
2009
§ 0. Введение.
Одним из наиболее спорных вопросов в современной классической математике является вопрос об абсолютной бесконечности. Бесконечность бывает двух сортов: потенциальная и актуальная. Понятие потенциальной бесконечности естественно возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n+1. Если мы дошли до шага k > n, то можно сделать и шаг k+1. Если абстрагироваться от ресурсных ограничений, то количество таких шагов неограниченно, и мы получаем понятие потенциальной бесконечности. Таким образом потенциальная бесконечность — это неограниченный процесс построения объектов по одному и тому же принципу. В противоположность такому процессу можно рассматривать актуальную бесконечность: бесконечную совокупность объектов, каждый из которых уже осуществлён, и все они перед нами предстают вместе, одновременно. Точки зрения на то, какие из бесконечностей имеют право на существование в математике, различаются. Так, например, Генцен говорит «Бесконечную совокупность нельзя рассматривать как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать лишь как нечто становящееся, нечто такое, что можно всё дальше и дальше надстраивать над конечным (потенциальная бесконечность)» (цитируется по [5]). Противоположную точку зрения представляют такие математики как Лейбниц «Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится её, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца», Больцано «чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части» (цитируется по [4]). Подытожить можно высказыванием Адамара «Только логическое противоречие может остановить нашу способность создавать идеальные понятия» (цитируется по [3]).
В канторовской теории множеств носителями актуальной бесконечности являются бесконечные множества. При этом элементы множества всегда чётко заданы. Отметим ещё одно положение: в канторовской теории никаких других объектов, кроме множеств, не существует. Таким образом, любой бесконечный объект, который нам встретится, заранее объявляется множеством. Это положение позволяет рассмотреть множество всех множеств, что в свою очередь приводит к парадоксу Рассела. Уже в этом месте можно было бы обнаружить, что “множество всех множеств” является нечётко заданной совокупностью. Но исторически оказалось выбранным другое радикальное решение: осуществление множества всех множеств и некоторых его подмножеств было просто запрещено.
В 1963 г. П.Коэн получил неожиданное решение первой проблемы Гильберта: он доказал независимость континуум-гипотезы. Несколько позже появляются сходные результаты о независимости ещё нескольких утверждений от аксиоматики теории множеств и друг от друга. Одним из таких утверждений является гипотеза Суслина:
Линейно упорядоченное множество без концевых элементов, плотное в себе, полное по Дедекинду, любое дизъюнктное семейство непустых интервалов в котором счётно, порядково изоморфно множеству действительных чисел.
Наличие таких утверждений приводит к так называемому второму кризису теории множеств: становится непонятно, что есть истина. Всё это противоречит изначальной установке Гильберта: актуальные множества суть чёткие и однозначные объекты этой реальности. С этого момента возникают объективные предпосылки для переосмысления основных положений канторовской теории и развития альтернативных точек зрения.
Одна из таких точек зрения реализована чешским математиком Петром Вопенкой и получила название альтернативной теории множеств (AST). В канторовской теории множеств все наши представления основаны на абсолютной чёткости рассматриваемых понятий (например, вещественных чисел), что служит источников многих проблем. В частности, в классической математике нет места таким нечётким понятиям, как «куча», «большое число», «маленькое число». Но именно работа с такими не вполне определёнными, нечёткими понятиями является основой альтернативной теории множеств.
Кажется естественным в начале ограничиться наследственно-конечными множествами (конструируемыми из пустого по определённым правилам), при этом процесс такого построения постепенно уходит за горизонт нашего чёткого видения. Понятие горизонта тем самым приобретает центральное значение, по сути заменяя собой идею конечности в классическом понимании. Множества, находящиеся перед нашим горизонтом, признаются конечными в смысле альтернативной теории множеств, а их совокупность, уже не будучи множеством, образует класс. Автором проделана большая работа по математизации этих суждений, впрочем он не придерживается строго аксиоматического подхода (что подчёркивает парадигмальный характер теории), вводя требуемые аксиомы по мере надобности и мотивирую эту надобность интуитивными воззрениями. В конце книги приведено рассуждение на тему того, какие ещё аксиомы можно ввести в альтернативную теорию множеств для дальнейшего развития в том или ином направлении.
Мне не известно математических применений альтернативной теории множеств вне её самой, но нельзя отрицать, что философское значение AST огромно: ведь Вопенка предлагает изменение классического взгляда на понятие бесконечности в математике. Принятие теории "естественной бесконечности" как принципа условной границы, остановки при рассмотрении математических процессов, решает практически все проблемы теории множеств и снимает противоречия в большинстве логических парадоксов.
§ 1. Базовые понятия AST. Множество, класс, собрание.
Выделим тот класс сущностей, которые мы считаем объективно существующими и назовём их объектами.
В AST множества — это объекты особого рода. Пусть дана какая-либо чётко выделенная совокупность объектов. Если мы признаем за этой совокупностью индивидуальность, представляем её как целостную и самостоятельную единичность, т. е. объект, то мы порождаем множество; его элементами будут объекты, находящиеся в этой совокупности. Это значит, что для каждого объекта ответ на вопрос, является ли он элементом множества (то есть, лежит ли он в данной совокупности) должен быть интуитивно ясен.
Однако, многие естественно возникающие совокупности не являются множествами. Например, совокупность всех ныне живущих людей не выделена чётко. Ведь если бы мы должны были решить, принадлежит ли к ней тот или иной человек, то у нас могли бы иной раз возникнуть немалые сомнения. Аналогично, не являются чётко выделенными совокупности всех существующих в данный момент столов, белых платьев, вкусных (или просто съедобных) блюд и прочие. Короче говоря, почти всегда, когда мы выделяем совокупность каким-либо естественным свойством (т. е. помещаем в эту совокупность все объекты с этим свойством), то данная совокупность выделяется нечётко. Для того, чтобы можно было работать и с совокупностями такого вида, вводится понятие класса. Если в определении множества не требовать чёткости, то полученный объект будет классом.
При этом несмотря на то, что совокупность элементов класса может быть выделена нечётко, принадлежность элементов классу понимается классически. Это значит, что если X — класс, а Y — объект, то Y Î X или Y Ï X, причем оба случая одновременно не могут иметь места. Но это не означает, что всегда можно решить, который из двух случаев осуществляется.
Частным случаем класса является полумножество. Класс называется полумножеством, если он есть подкласс некоторого множества. Собственные полумножества (то есть не являющиеся множествами) существуют. Некоторые примеры нечётких совокупностей, выделенных из совокупностей чётких были известны ещё в древности. Так, например, собственным полумножеством будет класс натуральных чисел, задаваемый свойством: если удалить такое-то число песчинок из данной кучи песка, то останется всё ещё куча песка. Подобно этому, собственным полумножеством является класс тех натуральных чисел, для которых имеет место свойство: если выдернем столько-то волос из головы волосатого, то он не станет лысым.
Поскольку требуется, чтобы класс существовал как объект, в момент его рассмотрения все элементы класса должны быть уже осуществлены. В частности, бесконечные (в классическом понимании) классы в альтернативной теории множеств оказываются носителями актуальной бесконечности. Что касается бесконечности потенциальной, то она предстаёт перед нами в виде собраний объектов. Собрание мы представляем себе как некое «вместилище», наподобие ямы, куда «падают» объекты по мере их осуществления. Чаще всего собрание объектов задаётся некоторым свойством. В такое собрание попадают в точности те объекты, которые обладают этим свойством. Это понятие наиболее близко к классическому множеству.
Не каждое собрание объектов можно считать объектом. В противном случае возникает парадокс типа парадокса Рассела. Допустим, что каждое собрание объектов представлено как объект. Пусть M есть собрание объектов, являющихся собраниями, не попадающими сами в себя. Тогда M — тоже объект. Этот объект не принадлежит собранию M, поскольку туда попадают те собрания объектов, которые не попадают сами в себя. Но коль скоро собрание M не попадает в M, оно должно попасть в M, поскольку там находятся как раз те собрания объектов, которые не попадают сами в себя.