Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №4,5,6 для студентов специальности 290300 заочной формы обучения (стр. 3 из 7)

Вычислительная формула метода касательных имеет вид

(5)

где

выбирается так же, как и значение в методе хорд.

Вычисления приближений

следует производить до тех пор, пока не начнут повторяться в ответе десятичные знаки числа (в соответствии с заданной степенью точности), для промежуточных результатов следует брать один-два запасных знака.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим первую производную:

Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

		0		1		2
	+	0	-		-	0	+
	возр.	max 0	убыв.	не опр.	убыв.	min 4	возр.

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками

, и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции и ее значения в экстремальных точках.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет максимум в точке х=0: у(0)=0 и минимум точке х=2: у(2)=4. Точка х=1 не является точкой экстремума, так как функция не определена в этой точке.

Пример 2. Найти асимптоты функции

.

Решение. Точка х=1 является точкой разрыва функции. Так как

, то прямая х=1 служит вертикальной асимптотой данного графика.

Ищем наклонные асимптоты у=kx+b, используя формулы (2):

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у=х+1.

Пример 3. Построить график функции

, используя общую схему исследования функции.

Решение. 1. Область определения:

Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции.

График функции имеет одну вертикальную асимптоту х=1 и одну наклонную асимптоту у=х+1 (см. пример 2). Он пересекает оси в точке (0,0).

2. Как было показано выше (см. пример 1), функция имеет один максимум при х=0 и один минимум при х=2.

3. Вторая производная

ни в одной точке не равна нулю и обращается в бесконечность при х=1. При переходе через точку х=1 направление выпуклости изменяется (см. таблицу), но эта точка не является точкой перегиба, поскольку функция в ней не определена.

		1
	-		+
		не опр.

Учитывая полученные результаты,

строим график функции (рис.1).

Рис.1. График функции

Пример 4. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:

Решение. 1. Подстановка предельного значения x= –1 приводит к неопределенности вида 0/0. Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1):

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по прежнему получаем 0/0), поэтому применим его еще раз:

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим

.

2. Убедившись, что имеет место неопределенность вида

, применяем правило Лопиталя:

.

Пример 5. С точностью до 0,01 найти все действительные корни уравнения

.

Решение. 1.Обозначим через

левую часть уравнения, т.е. .Установим промежутки, внутри которых находится один и только один корень уравнения. Так как , то, следовательно, функция возрастает на всей числовой оси , и график функции может пересекать ось Ох не более чем в одной точке. Так как f(0)=-3, а f(1)=2,то искомый корень заключен в интервале (1,0).

2.Вычислим корень с заданной степенью точности. Сначала применим метод хорд. Так как

в интервале (0;1), то c=b=1 и находим значение .

x₁ = x₀ –

– (c – x₀) = 0 – (1 – 0) = = 0,6.