Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №4,5,6 для студентов специальности 290300 заочной формы обучения (стр. 4 из 7)
Находим значение функции f(x) в точке x1 =0,6:
f(0,6) = (0,6)2 + 4(0,6) – 3 = 0,216 + 2,4 – 3 = –0,384.
Так как f(0,6)<0 и f(1)>0, то искомый корень находится в интервале (0,6; 1). Находим значение x2:
х2 = 0,6 –
– (1 – 0,6) ≈ 0,6 + 0,064 = 0,664;f(x2) = f(0,664) = (0,664)3 + 4(0,664) – 3 ≈ –0,051.
Следовательно, искомый корень принадлежит интервалу (0,0664, 1).
x3 = 0,664 –
(1 – 0,664) ≈ 0,664 + 0,008 ≈ 0,671;f(x3) = f(0,671) = (0,671)3 + 4∙0,671 – 3 = 0,302 + 2,684 – 3 ≈ –0,0139;
x4 = 0,671 –
(1 – 0,671) = 0,673.Проверка:
.Рассмотрим теперь метод касательных. Итак, уравнение имеет один корень в интервале (0,1). При этом
в этом интервале и f(1) 
. Следовательно, x0 = 1 иx1 = x0 –
= 1 – 
= 0,714;x2 = x1 –
= 0,714 – 
= 0,674;x3 = x2 –
= 0,674 – 
=0,674.Так как в найденных последовательных приближениях две цифры после запятой стали одинаковыми, то значение корня уравнения
, вычисленное с точностью 0,01,равно 0,67.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА№ 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные теоретические сведения
1. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных u = f(x,y,z) по аргументу x называется предел:
= 
Обозначаем
, 
. Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной u(x) = f(x,y,z) , полученной при фиксировании аргументов y и z: y = y0 , z= z0 .2. Производной функции u = f(x,y,z) в точке M(x,y,z) в направлении вектора
= 
называется предел 
= 
.Если u(x,y,z) дифференцируемы, то производная в данном направлении вычисляется по формуле:
= 
∙ 
+ 
+ 
,где α,β,γ – углы, образованные вектором
с осями Ox, Oy, Oz.Скалярным полем U называется скалярная функция точки М: U=U(M) вместе с областью ее определения.
Градиентом скалярного поля U(M) называется векторная функция точки М, определяемая формулой
. (1)Отметим следующее свойство градиента:
(2)Градиентом функции u = f(x,y,z) в точке M(x,y,z) называется вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции u: grad u =
+ 
+ 
.Градиент указывает направление наибыстрейшего изменения функции в данной точке и направлен по нормали к поверхности уровня функции u.
Производная по направлению равна скалярному произведению gradU и единичного вектора
направления 
:
(3)Если поверхность задана уравнением u(x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке M(x0,y0,z0) имеет вид
м 
+ 
м 
+ 
м 
= 0 , 
где
м , 
м , 
м - значение частных производных в точке М.3. Если функция z = f(x,y) дифференцируема, то ее полное приращение ∆f(x+∆x, y+∆y) – f(x,y) может быть приближенно заменено дифференциалом dz =
dx + 
dy.На этом основано приближенное равенство
f(x+∆x, y+∆y) ≈ f(x,y) + df(x,y). (4)
Если Р – точное, а р – приближенное значение некоторой величины, то абсолютная погрешность ∆, относительная погрешность δ и относительная погрешность в процентах θ определяются по формулам:
∆ =
; δ = 
; 0 = 100* δ% .Пример 1. Найти градиент скалярного поля f(r)=1/r, где
Вычислить производную этого поля в точке А(-4,8,1) по направлению вектора 
, где В(-2,6,2).Решение. Вычисляем градиент по формуле (2), используя соотношение (3):
Найдем единичный вектор
: 
Теперь найдем производную поля f(r) по направлению вектора
в точке А: 
Пример 2. Даны функции z = f(x,y) =
и две точки А(4;2) и В(4,03;1,96). Вычислить: 1) приближенное значение функции в точке В, исходя из ее значения в точке А в точке В дифференциалом; 2) значение функции в точке В, не прибегая к дифференциалу функции, и найти относительную погрешность в процентах, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом.Решение. 1. Здесь z =
; следовательно,