Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №4,5,6 для студентов специальности 290300 заочной формы обучения (стр. 5 из 7)
= 
= 
; 
= 
= 
.Полагая х=4, у=2, получим в точке А: z=f(4;2)=3;
A = 
; 
A = 
;При ∆х=4,03-4=0,03, ∆у=1,96-2=-0,04 найдем дифференциал функции в точке А:
df(x,y) =
0.03+ 
(-0.04) =- 
≈ - 0.0089.Далее находим приближенное значение данной функции в точке В:
≈ 3- 0,0089=2,9911.2. Вычислим теперь значение данной функции в точке В непосредственно:
≈ 2,9914.В данном случае абсолютная погрешность формулы (4) равна ∆=
= 0,0003; относительная погрешность δ = 0,003/ 2.9911 
0.0001, или 0=0,01%.Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=
в замкнутой области, ограниченной осями координат и прямой x+y=5.Решение. Область, в которой рассматривается данная функция, представляет собой треугольник АОВ. Найдем критические точки функции внутри этой области. Для этого найдем частные производные
=2x+4y-10; 
= 2y+4x-8 и решим систему уравнений: 
Получаем критическую точку Р(1;2), лежащую внутри рассматриваемой области. Граница рассматриваемой области состоит из трех отрезков, принадлежащих различным прямым, имеющим различные уравнения. Поэтому исследуем по отдельности каждый из этих отрезков. Отрезок ОА определяется уравнением у=0 при дополнительном условии
0≤ х ≤5 . Функция z является здесь функцией одной переменной: z=
-8y+7.Ее производная
= 2y-8 обращается в нуль в точке y=4, лежащей внутри отрезка и являющейся критической точкой функции на этом отрезке.Отрезок АВ определяется уравнением y=5-x при дополнительном условии 0 ≤ х ≤ 5 . Функция z является здесь функцией одной переменной:
Z=
+ (5- 
+ 4x(5-x)-10x-8(5-x) +7, или z= - 
+ 8x – 8. Её производная = - 4x +8 обращается в нуль в точке x=2, лежащей внутри отрезка и являющейся критической точкой функции на этом отрезке. При этом y= 5- 2=3.Границами отрезков ОА, ОВ, АВ являются точки О (0;0), А(5;0) и В(0;5).
Итак точки, в которых данная функция принимает наибольшее и наименьшее значения в заданной области, находятся среди точек Р(1;2), Q(0;4), R(2;3), О(0;0), А(5;0), В(0;5).
Вычислим значения функций в этих точках:
z (P) = z (1; 2) = – 6; z (Q) = z (0; 4) = – 9; z (R) = z (2; 3) = 0;
z (O) = z (0; 0) = 7; z (A) = z (5; 0) = – 18; z (B) = z (0; 5) = – 8.
В вершине треугольника O (0; 0) функция имеет наибольшее значение: zнаиб = z (0; 0) = 7, а вершина треугольника A (5; 0) функция имеет наименьшее значение zнаим = z (5; 0) = -18.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
1. Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных.
131. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
132. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
133. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
134. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
135. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
136. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
137. а)
б) 
в) 
г) 
д) 
138.а)
б) 
в) 
г) 
д) 
139.а)
б) 
в) 
г) 
д) 
140.а)
б) 
в) 
г) 
д) 
2. Найти
и 
для заданных функций.141.
144. 
142.
145. 