Методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ №4,5,6 для студентов специальности 290300 заочной формы обучения (стр. 1 из 7)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ 2

Методические указания и контрольные задания

к выполнению контрольных работ №4,5,6

для студентов

специальности 290300 заочной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2009

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания и задания к выполнению контрольных работ по высшей математике предназначены для студентов 1 курса специальности 290300 «Промышленное и гражданское строительство» заочной формы обучения. Они содержат 4, 5 и 6 контрольные работы и являются продолжением методических указаний (часть 1) к выполнению контрольных работ № 1, 2, 3.

Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо ознакомиться с соответствующими разделами программы курса и методическими указаниями, изучить литературу и разобрать решение подобных задач и примеров. Контрольные работы должны быть выполнены и представлены в сроки, установленные рабочим планом по высшей математике.

При удовлетворительном выполнении работа оценивается «допущена к собеседованию»; студент обязан учесть все замечания рецензента, внести в нее необходимые исправления и дополнения. После успешного прохождения собеседования студент получает зачет по выполненным работам и допускается к экзамену.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

Основные теоретические сведения

1. Пусть на некотором промежутке

определена функция . Разность называется приращением аргумента, а разность − приращением функции на отрезке . Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:

(1)

Производная есть скорость изменения функции в точке

. Геометрически значение производной в точке численно равно значению тангенса угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой к положительному направлению оси .

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

Если функции

и дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1)

; 2) ;

3)

; 4) ,

где

− постоянная.

Правила дифференцирования сложной

и параметрически заданной функции

1. Если

сложная функция, а и − дифференцируемые функции, то

.

2. Если функция

аргумента задана параметрическими уравнениями , то или

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

простейших элементарных функций

I .

;

II.

, в частности , ;

III.

, в частности ;

IV.

, в частности ;

V.

; VI. ;

VII.

; VIII. ;

IX.

; X. ;

XI.

; XII. .

1. Производной второго порядка (второй производной) функции

называется производная от ее производной первого порядка и обозначается или , или .

Аналогично определяются производные высших порядков.

Если функция задана параметрически, то

.

2. Дифференциалом функции

в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .

Дифференциал функции равен произведению его производной на дифференциал аргумента:

.

Если приращение

аргумента мало по абсолютной величине, то и , (2)

то есть дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

3. Уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой имеет вид , (3)

а уравнение нормали

. (4)

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Здесь основание и показатель зависят от

. Логарифмируя, получим . Продифференцируем обе части равенства по , учитывая, что есть сложная функция и . Тогда