Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 2 из 11)

Решение. Множество

образует линейное подпространство пространства , так как удовлетворяет критерию подпространства. Действительно, выделяется из с помощью одного условия , поэтому

1.

,

2.

.

Кроме того, нетрудно показать, что

. Для этого рассмотрим векторы стандартного базиса . Векторы не принадлежат . Но построение базиса подпространства в ряде случаев удобно выполнить, исходя из стандартного базиса самого пространства, изменяя его векторы так, чтобы они «попали» в подпространство. Поэтому преобразуем векторы так, чтобы у них первая и последняя координаты были равны. Например, пусть . Рассмотрим систему векторов . Она образует базис , так как нетрудно проверить, что она является линейно независимой и каждый вектор из подпространства линейно выражается через вектора этой системы. А так как количество векторов системы равно , то и . Итак, наше предположение оказалось верным.

Линейные подпространства, размерности которых на 1 меньше размерности самого пространства называются гиперплоскостями.

В следующей задаче условий больше.

Задача 1.2. (№1298[4]) Доказать, что множество

п-мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны нулю, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Для доказательства того, что

является подпространством, нужно также воспользоваться критерием подпространства. Так как поэтому следует ожидать, что , где - наибольшее четное число, не превышающее ( , если - четное, и , если - нечетное). Базисом является подсистема стандартного базиса пространства , содержащая векторы только с нечетными номерами.

Задача 1.3. Проверить, является ли множество

многочленов степени 3 с вещественными коэффициентами подпространством пространства многочленов степени ( ).

Решение. Воспользуемся критерием подпространства. Проверим условие

.

Пусть

, тогда

,

так как степень суммы этих двух многочленов равна двум. Итак, множество

не является подпространством.

Задача 1.4. (№№1291, 1308[4]) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства

пространства , если составляют все векторы из , у которых сумма координат .

Решение. Очевидно векторы стандартного базиса

(1 на - ой позиции ) множеству не принадлежат ни при каком . Однако, замена на векторах последнего нуля числом (-1) дает нам векторы из . Таким образом мы получаем систему векторов

из

, которая линейно независима (почему?) и обязана быть базисом , ибо из условия задачи явно следует, что из и, следовательно, .

Попутно решен вопрос (и подтвердилась гипотеза) о размерности

( выделено из одним условием).

Задача 1.4. (№1306[4]) Пусть

- неотрицательная квадратичная форма от неизвестных ранга . Доказать, что все решения уравнения =0 образуют мерное линейное подпространство пространства .

Поиск решения. Вспоминаем основные понятия теории квадратичных форм (матрица формы, ранг формы, определение формы). Очевидно, что более подробные записи данного уравнения в виде

, никак не указывают на способ решения задачи.

В процессе дальнейших размышлений начинаем понимать, что мы должны исходить из неотрицательной определенности формы

. Нормальный вид такой формы

(1)

а множество решений уравнения

=0 в этом случае состоит из векторов вида

, (2)

Где

- произвольные числа из . Имеющийся опыт (задача 1.2) подсказывает, что множество векторов такого вида есть ( )-мерное подпространство пространства . Но данная нам форма не обязательно нормальная. И здесь мы вспоминаем, что каждая неотрицательно определенная форма ранга невырожденным линейным преобразованием приводится к виду (1). Создается план решения: преобразовать форму к виду (1) , найти решения (2) уравнения =0 для преобразованной формы, а затем с помощью обратного преобразования построить решения уравнения =0 для данной формы .