Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 3 из 11)
Решение. По теореме о приведении квадратичной формы к нормальному виду существует невырожденное линейное преобразование
, приводящее форму 
к виду 
Множество решений уравнения
состоит из векторов 
где 
, то есть из векторов 
.Обозначим
(1 на 
- ой позиции) и докажем, что множество 
решений уравнения 
=0 есть линейная оболочка системы векторов 
.Пусть
. Тогда 
Очевидно и другое:
Кроме того, система
линейно независима (проверяется непосредственно). Составляем линейную комбинацию 
. Получаем 
. Мы пришли к матричному уравнению, которое имеет единственное решение, так как матрица 
является невырожденной. 
.Отсюда
. Тем самым мы показали, что система 
является линейно независимой. Следовательно, 
- линейное пространство (по построению) и его размерность 
1.3. Координаты вектора в данном базисе.
Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.
1.4.Сумма и пересечение подпространств.
Пусть
- данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление 
не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств 
и 
. 
находится по формуле 
. (3)Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения
. В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй - с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали). Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов
и 
Решение. Обозначим
, 
. Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе 
.1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов
, 
. Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.Итак,
. Базис 
составляют 
. 
. Базис составляют 
. 
.Базис
составляют 
. По формуле (3) получаем 
. Базис пересечения будем искать из условия 
. Значит, 
представим в виде 
и 
. Приравниваем правые части 
. Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда 
будет образовывать базис пересечения. 
Решив систему, строим ФСР.
Вектор
образует базис 
.2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов
, 
и перебрасываем наверх сначала векторы 
, пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы 
, переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем. | а) |  |  |  | б) | |  |  | ||
| | 2 |  | 0 |  | -3 | 2 | 3 | ||
| | 1 | 2 | 3 |  | -1 | -2 | | ||
| | -5 | -2 | 1 |  |  | -1 | 1 | 2 | |
| | 1 | 1 | 2 | | -7 | 3 | 0 | ||
 | -1 | 3 | 0 | | 2 | 0 | 3 | ||
 | 2 | 0 | 3 |
| в) | | | |
| | 0 | 8 | 3 |
| | | 5 | 2 |
| | -7 | 3 | 0 |
| | 5 | 6 | 3 |
Перебросить
наверх вместо невозможно. Следовательно, 
=2, а базис составляют 
, 
. Исключаем из таблицы строку и перебрасываем наверх 
вместо оставшихся 
.