и потому каждый вектор

единственным способом представим в виде суммы

где

Вектор

называют (ортогональной) проекцией вектора

на подпространство

и обозначают

, а

- перпендикуляром (ортогональной составляющей) из вектора

на подпространство

:

. Очевидно, что

,

. (6)
Если

, то

(7)
и тогда

.
Умножаем последнее равенство скалярно на

,

, с учетом

, получаем

(8)
Эта система в силу существования представления (7) совместна. Определитель матрицы этой системы есть определитель Грама

. Если

- линейно независима, то

и система (8) имеет единственное решение. В противном случае у системы (8) решений бесконечно много. Но нам достаточно найти одно (все другие решения дадут нам те же векторы

и

). Если система (8) получилась несовместной, ищите ошибку. Вычисления сокращаются, если известны базисы

и

и если, опираясь на соотношения (6), выбрать то подпространство, размерность которого меньше.
Умение находить

и

позволит успешно справиться с большинством задач на вычисление длин, расстояний и углов.
Задача 2.3. Вычислить расстояние от вектора

до плоскости

, заданной системой уравнений

.
Решение. Напомним: плоскостью (линейным многообразием) называется множество векторов вида

,
где

- вектор сдвига,

- данное (направляющее) подпространство. Любая плоскость может быть задана как множество решений некоторой системы линейных уравнений. Частное решение этой системы дает координаты вектора сдвига. Общее решение приведенной системы - направляющее подпространство. Учитывая это, находим, что

, где

,

.
Расстояние от вектора

до плоскости

определяется как

или как

.
Так как

(применена теорема Пифагора), то

Мы получили формулу

Остается вычислить

и его длину.

.

и тогда

.
Умножаем последнее равенство скалярно на

,

, с учетом

, получаем

Решая систему, находим

.
Тогда

.

.

3. ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
Пусть

и

- два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из

в

называется отображение пространства

в пространство

. Если отображение обозначить символом

, то это записывают так:

.
Образ вектора

обозначают

или

и называют значением оператора

на векторе

. По определению

.
Оператор

называют
линейным оператором, если

и

- пространства над одним и тем же полем

и при этом
1.

(аддитивность оператора);
2.

(однородность оператора).
Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.
Оператор

называют также преобразованием пространства

.
Основные типы задач по этой теме:
a) проверка линейности заданного оператора;