Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 7 из 11)
b) нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;
c) построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);
d) нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№1465-1484);
e) построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора (№№1529-1536).
Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.
Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:
1.
.2.
( 
-пространство многочленов степени 
над некоторым полем). 
.3.
.4.
.5.
.6.
. Определим оператор 
так: если 
и 
, то 
(оператор проектирования на 
параллельно 
).7.
( 
- фиксированный вектор).Решение.
1.
является отображением. Проверим аддитивность и однородность. 
. 
.Все условия выполнены, значит,
является линейным оператором.5.
. 
, 
. 
. 
. Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если 
, то 
и 
.Находим
.Точно так же
.Все условия определения линейного оператора выполнены.
- линейный оператор.Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой (
). Поэтому, если 
, то нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2 
- нелинейный. В упражнении 3 
- нелинейный.Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство
может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор 
находится под знаком 
. Поэтому проверку ведем на конкретных векторах. 
Очевидное неравенство
доказывает неаддитивность 
и его нелинейность.В этом же примере можно поступить и так:
Поэтому оператор
неоднороден, следовательно, и нелинеен.Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.
Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:
1. оператора аддитивного, но не однородного;
2. оператора однородного, но не аддитивного.
3.1. Образ, ядро линейного оператора.
Образом линейного оператора
называется множество всех векторов вида 
. Если 
, то образ есть подмножество из 
. Его обозначают 
или 
.Если
- линейный оператор, то 
, где 
- какой-либо базис пространства 
.Ядро линейного оператора
- это множество тех 
, для которых 
. Ядро линейного оператора (обозначается 
) – подпространство пространства 
. Полезно уметь находить ядра и образы линейных операторов, их размерности (дефект и ранг).Задача 3.2. Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора
(оператор двойного векторного умножения).Решение. Будем считать, что мы уже убедились в линейности оператора
.Вычисление образа. Возьмем стандартный базис пространства
: 
. Находим 
(подпространство одномерное).
.Вычисление ядра. Пусть
. Это означает, что 
или 