Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 8 из 11)

Отсюда

где . Другими словами , а дефект .

(В нашем примере

, но это не общее правило). Можно было воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Но решение вряд ли упростилось бы от этого.

Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой

что позволило нам сразу записать общее решение

.

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах.

Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из

в однозначно определяется своими значениями на каком-либо базисе пространства . Эта теорема позволяет строить примеры различных операторов, удовлетворяющих наперед заданным свойствам.

Задача 3.3. Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора

:

1. .
2. .
3. .
4. , где
   .
5. На
   
   действует как тождественный, но
   .
6. Каждое
   переводит в себя, но
   .

Решение. 1. Возьмем какой-либо базис в

, например, стандартный

.

Так как

, то из условия следует . Для определенности возьмем . Определим на базисе так:

Этими условиями линейный оператор

полностью определен.

Если

то по нашему определению

Легко убеждаемся, что

.

Действительно,

- это множество тех , для которых , то есть .

6. Так как необходимо построить такой линейный оператор

, который каждое переводит в себя, но , то будем считать, что система является линейно независимой, а значит, является базисом . Определим на базисе так:

Можно проверить, что таким образом введенный операторм является линейным и удовлетворяет всем необходимым условиям.

3.3. Собственные векторы и собственные значения.

Процедура вычисления собственных значений и собственных векторов (собственных подпространств) линейного оператора

вытекает из соответствующего теоретическоо материала. Продемонстрируем ее на конкретном примере.

Задача 3.4. Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора

(необходимо самостоятельно проверить линейность)

.

Решение. 1) Строим матрицу оператора

в стандартном базисе пространства (предполагаем, что линейность оператора проверена):

, .

2) Составляем характеристическую матрицу

, вычисляем ее определитель и находим корни характеристического многочлена.

;

;

Оба корня принадлежат полю

и являются собственными значениями оператора; - кратности 1; - кратности 2.

3) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей

и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений - одномерное пространство, линейно независимых решений. Легко находим ее фундаментальную систему решений -

. Собственное подпространство, относящееся к

4) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей

и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений также является одномерным пространством. Легко находим ФСР -

. Собственное подпространство, относящееся к

Задача решена.

Замечание 1. Если оператор

задан своей матрицей, то пункт 1) не нужен.

Замечание 2. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное

не является собственным значением или допущена ошибка в вычислении коэффициентов системы линейных уравнений или в процессе решения системы).