Отсюда
(В нашем примере
Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой
что позволило нам сразу записать общее решение
3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах.
Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из
Задача 3.3. Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора
Решение. 1. Возьмем какой-либо базис в
Так как
Этими условиями линейный оператор
Если
Легко убеждаемся, что
Действительно,
6. Так как необходимо построить такой линейный оператор
Можно проверить, что таким образом введенный операторм является линейным и удовлетворяет всем необходимым условиям.
3.3. Собственные векторы и собственные значения.
Процедура вычисления собственных значений и собственных векторов (собственных подпространств) линейного оператора
Задача 3.4. Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора
Решение. 1) Строим матрицу оператора
2) Составляем характеристическую матрицу
Оба корня принадлежат полю
3) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей
Система ранга 2. Множество ее решений - одномерное пространство, линейно независимых решений. Легко находим ее фундаментальную систему решений -
4) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей
Система ранга 2. Множество ее решений также является одномерным пространством. Легко находим ФСР -
Задача решена.
Замечание 1. Если оператор
Замечание 2. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное