Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008 (стр. 1 из 11)

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Институт математики, экономики и механики

линейная алгебра

( решение типовых задач)

Часть 2

Методические указания для студентов 1 курса

Одесса – 2008

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

к-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

к-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

.

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначения…………………………………………………4

1. Линейные пространства …………………………………...5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…........17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.2.Ортогональные дополнения…………………………..19

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах…………….........23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…...31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………...45

Список литературы………………………………………….51

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾

- произвольные пространства над некоторым полем ;

¾

- пространство - мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

В частности

¾

- действительное - мерное арифметическое пространство;

¾

- комплексное - мерное арифметическое пространство;

¾

- пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾

- евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾

- подпространства данного пространства ( - индекс, не связанный с размерностью);

¾

векторы рассматриваемого пространства; - нулевой вектор;

¾

скаляры из данного поля, - нуль этого поля;

¾

линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾

матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾

размерности пространств ;

¾

ранги операторов (матриц) ;

¾

скалярное произведение в данном пространстве;

¾

векторное произведение в данном пространстве .

1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

1.1. Линейные пространства и подпространства.

Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.

В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):

Теорема. Подмножество

векторов пространства над полем является подпространством тогда и только тогда, когда

1.

замкнуто относительно сложения, т.е. ,

2.

замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : .

Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.

1.2. Базис пространства, его размерность.

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество

векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства . Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

Задача 1.1. (№1297[4]) Доказать, что множество

п-мерных векторов, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образует линейное подпространство пространства .