1. Математическое описание связи. Модель парной регрессии (стр. 3 из 4)

Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F – отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F – критерия – это максимальная величина отношения дисперсии, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.

Если F_факт > F_табл, то нулевая гипотеза Н₀ об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если F _факт < F_табл, то H₀ не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. Для этого по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: m_b и m_a:

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t - критерия Стьюдента:

которое затем сравнивается с табличным значением при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы (n-2)

Имеет место равенство:

Для оценивания существенности параметра а определяется:

и его величина сравнивается с табличным значением.

Если табличное значение t – критерия превышает фактическое, то делается вывод о несущественности данного коэффициента, а если наоборот, табличное значение меньше фактического - вывод о существенности данного коэффициента.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции:

Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется как

Т.о. проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

B прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_р) значение как точечный прогноз у_х при х_р = х_к т.е. путем подстановки в уравнение регрессии ŷ_х = а + bх соответствующего значения х. Точечный прогноз явно не реален, поэтому он всегда дополняется расчетом стандартной ошибки ŷ_х , т.е. m_ŷх , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения:

(2.13)

Стандартная ошибка предсказываемого среднего значения у, при заданном значении х, определяется по формуле:

(2.14)

где

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при фиксированных значениях х с различными вероятностями имеют вид:

где t_a=1 при 68% вероятности

t_a=2,0 при 95% вероятности

t_a=2,58 при 99% вероятности

Для экономических расчетов степень вероятности обычно принимается равной 95%.

1.3. Виды нелинейных регрессионных моделей, расчет их параметров

Хотя во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат, однако ограничиться рассмотрением лишь линейных регрессионных моделей невозможно. Так близость линейного коэффициента корреляции к нулю еще не значит, что связь между соответствующими экономическими переменными отсутствует. При слабой линейной связи может быть очень тесной, например, не линейная связь. Поэтому необходимо рассмотреть и нелинейные регрессии, построение и анализ которых имеют свою специфику.

В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.

Различает две группы нелинейных регрессионных моделей:

- модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- модели нелинейные по оцениваемым параметрам.

К первой группе относятся, например, следующие виды функций:

- полином 2-й степени;

- полином 3-й степени;

- гипербола.

Ко второй группе относятся:

- степенная;

- показательная;

- экспоненциальная и др. виды функций.

Первая группа нелинейных функций легко может быть линеаризована

(приведены к линейному виду). Например, для полинома к-го порядка

производя замену:

х = х₁, х² = х₂, ... х^k = x_k

получим линейную модель вида

Аналогично могут быть линеаризованы и другие виды нелинейных функций 1-й группы, производя соответствующие замены.

Для оценки параметров нелинейных функций первой группы можно использовать, обычный МНК, аналогично, как и в случае линейных функций.

Иначе обстоит дело с группой регрессионных, нелинейных функций по оцениваемым параметрам. Данную группу функций можно разбить на две подгруппы:

нелинейные модели внутренне линейные;

нелинейные модели внутренне нелинейные.

Рассмотрим степенную функцию

Она нелинейна относительно параметров а и b. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как, прологарифмировав ее можно привести к линейному виду:

Следовательно, ее параметры могут быть найдены обычным МНК.

Если модель представить в виде:

то модель становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно преобразовать в линейный вид.

Внутренне нелинейной будет и модель вида:

В исследованиях, часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые легко преобразуются в линейный вид, относятся к группе линейных моделей.

Если, модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные методы, успешность которых зависит от вида функции и особенностей применяемого итеративного подхода.

2. Множественная регрессия и корреляция

На любой экономической показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов.

Парная (однофакторная) регрессия является частным случаем множественной регрессии. Схематически модель множественной регрессии записывается в виде: где y результативный экономический показатель, - показатели - факторы.

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства, в макроэкономических расчетах и при решении других вопросов в различных экономических сферах. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в математике и эконометрике.

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели (выбор факторов, вида уравнения и др.)

Факторы, включаемые в модель множественной регрессии, должны отвечать следующим требованиям:

- должны быть количественно измеримы;

- не должны быть интеркоррелированы или находится в функциональной зависимости;

- в одну модель нельзя включать совокупный фактор и образующие его частные факторы, что может привести к неоправданному увеличенному их влияние на зависимый показатель, к искажению реальной действительности;