Пример 3. Вычислить интеграл:
Функция
Особые точки функции:
Поскольку
Для заданного интеграла по формуле (2.1) получаем результат:
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.5):
Рисунок 3.5 – Пример вычисления интеграла
Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:
В случае замкнутой кривой l=C:
Интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром C.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.
Способ 1. Интеграл вычисляется сведением к криволинейному интегралу от функции действительных переменных, применяются формулы:
а). l – прямая, соединяющая точки
б). l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Решение:
а). Путь интегрирования l – прямая, соединяющая точки
Применяем к вычислению интеграла формулу (1). Подинтегральное выражение имеет вид
Поэтому:
Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки
Получаем:
б). Путь интегрирования l – ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Так как путь интегрирования состоит из 2 отрезков, то:
Каждый из этих двух интегралов вычисляем для ОВ (
Тогда
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.6):
Рисунок 3.6 – Пример вычисления интеграла
Способ 2. Интеграл вычисляется приведением к определенному интегралу (путь интегрирования f задается в параметрической форме z=z(t)) – применяется формула:
Пример 2. Вычислить интеграл
Подставляем в подинтегральное выражение:
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.7):
Рисунок 3.7 – Пример вычисления интеграла
Способ 3. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях – применяется формула:
Пример 3. Вычислить интеграл от аналитической функции
Применяем формулу (3), находим первообразную, используя методы интегрирования действительного анализа:
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.8):
Рисунок 3.8 – Пример вычисления интеграла
Теорема (основная теорема о вычетах):
Если функция f(z) – аналитична в
Пример 1. Вычислить интеграл
Особыми точками подинтегральной функции являются нули знаменателя – корни уравнения exp(z) – i =0, т.е. точки
Кругу
Эта точка - простой полюс функции
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.9):
Рисунок 3.9 – Пример вычисления интеграла
Пример 2. Вычислить интеграл
Единственная особая точка подинтегральной функции – существенно особая точка z=0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.
Вычислим вычет в существенно особой точке функции f(z):
В пакете Mathematica (см. рисунок 3.10):
Рисунок 3.10 – Пример вычисления интеграла
Пример 3. Вычислить интеграл
Особыми точками подинтегральной функции являются нули знаменателя – корни уравнения
Все эти точки – простые полюсы подинтегральной функции, кругу
Вычислим вычеты в этих точках: