Тема разностные фильтры и фильтры интегрирования (стр. 2 из 2)
Как следует из рис. 4.1.5, спектр полезного сигнала полностью находится в зоне единичного коэффициента частотной характеристики оператора, и восстановление данных выполняется практически без погрешности (рис. 4.1.4). При наложении на сигнал статистически распределенных шумов (рис. 4.1.6) погрешность восстановления данных увеличивается, но для информационной части полного сигнала она, как и во входных данных, не превышает среднеквадратического значения (стандарта) флюктуаций шума.
Аппроксимация производных - вторая большая область применения разностных операторов. Оценки первой, второй и третьей производной можно производить по простейшим формулам дифференцирования:
(sn)' = (sn+1-sn-1)/2Dt. h1 = {-0.5, 0, 0.5}. (4.1.4)
(sn)'' = (sn+1-2sn+sn-1)/Dt. h2 = {1, -2, 1}.
(sn)''' = (-sn+2+2sn+1-2sn-1+sn-2)/2Dt. h3 = {0.5, -1, 0, 1, -0.5}.
Оператор первой производной является нечетной функцией и имеет мнимый спектр. Если принять s(t) = exp(jwt), то истинное значение первой производной должно быть равно: s'(t) = jw exp(jwt). Передаточная функция H(w) = jw. Оценка первой производной в точке n = 0 по разностному оператору при Dt = 1: s'(0) = (exp(jw)-exp(-jw))/2 = j sin w = H1(w). Отношение расчетного значения к истинному на той же точке: K1(w) = sin(w)/w. Графики функций в правой половине главного диапазона приведены на рис. 4.1.7.
 Рис. 4.1.7. |
Как следует из приведенных выражений и графиков, значение К(w) равно 1 только на частоте w = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных. Однако при обработке практических данных последний фактор может играть и положительную роль, если сигнал низкочастотный (не более 1/3 главного диапазона) и зарегистрирован на уровне высокочастотных шумов. Любое дифференцирование поднимает в спектре сигнала долю его высокочастотных составляющих. Коэффициент усиления дисперсии шумов разностным оператором дифференцирования непосредственно по его спектру в главном диапазоне:
Kq = (1/p)
(sin w)2 dw = 0.5.При точном дифференцировании по всему главному диапазону:
Kq = (1/p)
w2 dw = 3.29.Следовательно, разностный оператор имеет практически в шесть раз меньший коэффициент усиления дисперсии шумов, чем точный оператор дифференцирования.
На рис. 4.1.8 показан пример дифференцирования гармоники с частотой 0.1 частоты Найквиста (показана пунктиром) и этой же гармоники с наложенными шумами (сплошная кривая).
Рис. 4.1.8. Пример дифференцирования (входные сигналы – вверху, выходные – внизу).
Оператор второй производной относится к типу четных функций. Частотная функция оператора: H2(w) = -2(1-cos w). Собственное значение операции H(w) = -w2. Отношение фактического значения к собственному
K2(w) = [sin(w/2)/(w/2)]2,
и также равно 1 только на частоте w = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных, хотя и меньшие по относительным значениям, чем оператор первой производной. Частотные графики дифференцирования приведены на рис. 4.1.9. Коэффициент усиления дисперсии шумов оператором второй производной равен 6 при собственном значении дифференцирования, равном 19.5. Эти значения показывают, что операция двойного дифференцирования может применяться только для данных, достаточно хорошо очищенных от шумов, с основной энергией сигнала в первой трети интервала Найквиста.
 Рис. 4.1.9. Частотные функции оператора 2-ой производной. |
В принципе, вторую производную можно получать и последовательным двойным дифференцированием данных оператором первой производной. Однако для таких простых операторов эти две операции не тождественны. Оператор последовательного двойного дифференцирования можно получить сверткой оператора первой производной с самим собой:
2h1 = h1 ③ h1 = {0.25, 0, -0.5, 0, 0.25},
и имеет коэффициент усиления дисперсии шумов всего 0.375. Частотная характеристика оператора:
2H1(w) = -0.5[1-cos(2w)].
Графики 2H1(w) и коэффициента соответствия 2K1(w) приведены пунктиром на рис. 4.1.9. Из их сопоставления с графиками второй производной можно видеть, что последовательное двойное дифференцирование возможно только для данных, спектральный состав которых занимает не более пятой начальной части главного диапазона, и по точности хуже оператора второй производной.
Рис. 4.1.10. Вторая производная гармоники с частотой w=0.2p при Dt=1
(пунктир – двойное последовательное дифференцирование)
Пример применения двух операторов второй производной приведен на рис. 4.1.10.
Частота Найквиста главного диапазона обратно пропорциональна интервалу Dt дискретизации данных (wN = p/Dt), а, следовательно, интервал дискретизации данных для корректного использования простых операторов дифференцирования должен быть в 3-5 раз меньше оптимального для сигналов с известными предельными частотами спектрального состава.
Частотные функции для третьей производной предлагается получить самостоятельно.
4.2. Интегрирование данных /24/
Интегрирование сигналов реализуется рекурсивными цифровыми фильтрами. Рассмотрим примеры анализа интегрирующих операторов.
Как известно, для точной операции интегрирования финитных сигналов в общем случае действительно преобразование:
s(t) dt « (1/jw) S(w).Это выражение в правой части имеет особую точку при w = 0 и, соответственно, весовой дельта-импульс на нулевой частоте. Оператор интегрирования в частотной области (1/jw) при w > 1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты, а при 0 < w <1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -900 для положительных частот и на 900 для отрицательных.
Наиболее простыми и распространенными на практике алгоритмами интегрирования являются цифровые аналоги формул трапеций, прямоугольников и Симпсона.
Алгоритм интегрирования по формуле трапеций при нулевых начальных условиях:
yk+1 = yk+(sk+1+sk)/2. (4.2.1)
 Рис. 4.2.1. Частотные характеристики фильтров |
Принимая sk = exp(jwt) и yk = H(w) exp(jwt), подставляем сигналы в (4.2.1) при tk = kDt, Dt = 1 и решаем относительно H(w). Получаем:
H(w) = cos(w/2)/[2j sin(w/2)].
Частотная характеристика фильтра (в логарифмическом масштабе), а также фильтров интегрирования по другим формулам, приведена на рис. 4.2.1.
В связи с накоплением результатов по всему предыдущему циклу суммирования и большим диапазоном значений модуля АЧХ фильтра более удобными, представительными и информационными являются частотные функции коэффициентов соответствия фактического интегрирования истинному:
K(w) = H(w)exp(jwt)/[(1/jw)exp(jwt)].
K(w) = cos(w/2)[(w/2)/sin(w/2)]. (4.2.2)
 Рис. 4.2.2. Коэффициенты соответствия. |
Графики коэффициентов соответствия всех фильтров интегрирования приведены на рис. 4.2.2
Оператор интегрирования по формуле прямоугольников (интерполяционное среднеточечное):
yk+1 = yk+sk+1/2. (4.2.3)
После аналогичных подстановок сигнала и преобразований получаем:
K(w) = (w/2)/sin(w/2).
При численном интегрировании по формуле Симпсона уравнение фильтра имеет вид:
yk+1 = yk-1+(sk+1+4sk+sk-1)/6. (4.2.4)
Частотный анализ фильтра проведите самостоятельно. Контроль:
K(w) = (2+cos w)/[3 sin(w)/w].
Наиболее простые формулы цифрового интегрирования (трапеций и прямоугольников) ведут себя различным образом в главном частотном диапазоне. Формула прямоугольников завышает результаты на высоких частотах, а формула трапеций - занижает. Эти особенности легко объяснимы. Для одиночной гармоники площадь трапеции по двум последовательным отсчетам всегда меньше, чем площадь с выпуклой дугой гармоники между этими отсчетами, и разница тем больше, чем больше частота. В пределе, для гармоники с частотой Найквиста, отсчеты соответствуют знакочередующемуся ряду (типа 1, -1, 1, -1, ... или любые другие значения в зависимости от амплитуды и начального фазового угла) и при нулевых начальных условиях суммирование двух последовательных отсчетов в формуле (4.2.1) будет давать 0 и накопления результатов не происходит. Интегрирование по площади прямоугольников с отчетом высоты по центральной точке между двумя отсчетами всегда ведет к завышению площади прямоугольника относительно площади, ограниченной выпуклой дугой гармоники.
Формула Симпсона отличается от формул трапеций и прямоугольников более высокой степенью касания единичного значения, что обеспечивает более высокую точность интегрирования в первой половине главного диапазона. Однако на высоких частотах погрешность начинает резко нарастать вплоть до выхода на бесконечность на конце диапазона (полюс в знаменателе передаточной функции рекурсивного фильтра на частоте Найквиста).
Эти особенности интегрирования следует учитывать при обработке данных сложного спектрального состава. Пример интегрирования сигнала и изменения его спектра приведен на рис. 4.2.3.
Рис. 4.2.3.
литература
24. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.
Главный сайт автора ~ Лекции по ЦОС ~ Практикум
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright © 2008-2010 Davydov А.V.