Тема 2: частотный анализ цифровых фильтров (стр. 2 из 5)
 Рис. 2.1.4. |
При выборе окна фильтра следует учитывать как коэффициент подавления дисперсии шумов, так и степень искажения полезного сигнала, на который наложены шумы. Оптимальное окно фильтра может быть определено только в том случае, если спектр сигнала известен и ограничен определенной верхней частотой, а мощность шумов не превышает определенного уровня. Рассмотрим это на конкретном примере.
Допустим, что нужно обеспечить максимальное подавление дисперсии шумов при минимальном искажении верхней граничной частоты сигнала fв, на которой мощность шумов равна мощности сигнальной гармоники fв. Значение fв равно 0.08 частоты Найквиста дискретизации данных, т.е. fв = 0.04 при Dt=1. Относительные значения мощности (дисперсии) гармоники и шума принимаем равными 1. Спектр модели сигнала + шума в сопоставлении с передаточными функциями фильтров приведен на рис. 2.1.4.
Таблица 2.1.1.
| N | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Ку(fв) | 1 | 0.98 | 0.94 | 0.88 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.51 |
| Wu(N) | 1 | 0.96 | 0.88 | 0.77 | 0.64 | 0.51 | 0.38 | 0.26 |
| Wq(N) | 1 | 0.33 | 0.2 | 0.14 | 0.11 | 0.09 | 0.08 | 0.07 |
| Кс/ш(N) | 1 | 2.88 | 4.4 | 5.4 | 5.8 | 5.6 | 4.89 | 3.85 |
| d2(N) | 1 | 0.35 | 0.23 | 0.18 | 0.17 | 0.18 | 0.21 | 0.26 |
| s2(N) | 1 | 0.32 | 0.2 | 0.15 | 0.15 | 0.18 | 0.23 | 0.31 |
 Рис. 2.1.5. |
По формуле (2.1.3) вычисляем коэффициенты Ку(fв) усиления фильтров с N от 0 до 6 на частоте fв (см. таблицу 2.1.1). При мощности гармоники Wu = 1 амплитудное значение гармоники на входе фильтра равно U =
= 1.41. Мощности гармоник на выходе фильтров в зависимости от N:Wu(N)= 0.5·[U· Ку(fв)]2.
Соответственно, при мощности входного шума Wq=1 мощности шумов на выходе фильтров будут численно равны коэффициентам усиления дисперсии шумов Wq(N) = Wq·Kq(N).
Максимум отношения
Кс/ш(N) = Wq(N)/Wu(N)
определяет оптимальный фильтр с максимальным увеличением отношения сигнал/шум, т.е., по существу, коэффициент усиления отношения сигнал/шум при выполнении фильтрации с учетом изменения амплитудных значений полезной части сигнала.
 Рис. 2.1.6. |
При Ку(fв) > 0.5 и Wu(N) = Wq(N) = 1 численные значения величины d2(N) = 1/ Кс/ш(N) в первом приближении могут служить оценкой s2(N) квадрата среднего квадратического отклонения выходных сигналов от "чистой" гармоники fв, заданной на входе. Свидетельством этому служат последние строки таблицы 2.1.1, где приведены результаты математического моделирования фильтрации по данным условиям на выборке 10000 точек. На рис. 2.1.6 приведены результаты сопоставления расчетных d2(N) и модельных s2(N) значений данных коэффициентов. Эффект фильтрации можно видеть на рис. 2.1.7, где приведен пример сигналов моделирования на ограниченном отрезке данных.
Рис. 2.1.7. Сигналы на входе и выходе фильтра МНК 1-го порядка.
Фильтры МНК 2-го порядка (МНК-2) рассчитываются и анализируются аналогично. Рассмотрим квадратный многочлен вида y(t)=A+B·t+C·t2. Для упрощения анализа ограничимся симметричным сглаживающим НЦФ с интервалом дискретизации данных Dt=1.
Минимум суммы квадратов остаточных ошибок:
s(A,B,C) =
[sn-(A+B·n+C·n2)]2. (2.1.4)Система уравнений после дифференцирования выражения (2.1.4) по А, В, С и приравнивания полученных выражений нулю:
A
1 + B n + С n2 = sn.A
n + B n2 + С n3 = n·sn.A
n2 + B n3 + С n4 = n2·sn.При вычислении значения квадратного многочлена только для центральной точки (t=0) необходимости в значениях коэффициентов В и С не имеется. Решая систему уравнений относительно А, получаем:
A = {
n4 sn - n2 n2sn} / { 1 n4 - [ 
n2]2}. (2.1.5)При развертывании выражения (2.1.5) для 5-ти точечного НЦФ:
yo = (17
sn - 5 n2sn) /35 = (-3·s-2+12·s-1+17·so+12·s1-3·s2) /35. (2.1.6)Импульсная реакция: hn = {(-3, 12, 17, 12, -3)/35}.
Передаточная функция фильтра:
H(z)= (-3z-2+12z-1+17+12z1-3z2)/35. (2.1.7)
Рис. 2.1.8. Сглаживающие фильтры МНК.
Аналогичным образом выражение (2.1.5) позволяет получить импульсную реакцию для 7, 9, 11 и т.д. точек фильтра:
3hn = {(-2,3,6,7,6,3,-2)/21}.
4hn = {(-21,14,39,54,59,54,39,14,-21)/231}.
5hn={(-36,9,44,69,84,89,84,69,44,9,-21)/459}.
Подставляя значение z = exp(-jw) в (2.1.7) или непосредственно в (2.1.6) сигнал sn = exp(jwn) и объединяя комплексно сопряженные члены, получаем частотную характеристику 5-ти точечного сглаживающего фильтра МНК второго порядка:
H(w) = (17+24 cos(w)-6 cos(2w))/35.
Вывод формул передаточных функций для 7, 9, 11-ти точечных фильтров МНК предлагается для самостоятельной работы.
