Тема 2: частотный анализ цифровых фильтров (стр. 3 из 5)
Рис. 2.1.9. Рис. 2.1.10.
Вид частотных характеристик фильтров при N=3 и N=5 приводится на рис. 2.1.8. При сравнении характеристик с характеристиками фильтров МНК-1 можно видеть, что повышение степени полинома расширяет низкочастотную полосу пропускания фильтра и увеличивает крутизну ее среза. За счет расширения полосы пропускания главного частотного диапазона при тех же значениях N коэффициенты усиления дисперсии шумов фильтров МНК-2 выше, чем фильтров 1-го порядка, что можно видеть на рис. 2.1.9.
Методика выбора окна фильтра под частотные характеристики входных сигналов не отличается от фильтров МНК 1-го порядка. На рис. 2.1.10 приведены значения d2(N) и s2(N) фильтров МНК-2 в сопоставлении со значениями фильтров МНК-1 для частоты fв = 0.08 Гц при Dt=1. Из сопоставления видно, что для получения примерно равных значений подавления шумов фильтры МНК-2 должны иметь в 2 раза большую ширину окна, чем фильтры МНК-1. Об этом же свидетельствует и пример моделирования фильтрации, приведенный на рис. 2.1.11.
Рис. 2.1.11.
Модификация фильтров. Фильтры МНК второго порядка (равно как и другие фильтры подобного назначения) также можно модифицировать по условию H(w) → 0 при w → p. Один из простейших методов модификации заключается в следующем. В выражение передаточной функции (со всеми коэффициентами фильтра, вида (2.1.7)) подставляем z = exp(-jw), заменяем значения концевых коэффициентов фильтра на параметры, принимаем w = p, и, приравняв полученное выражение нулю, находим новые значения концевых коэффициентов, после чего сумму всех коэффициентов нормируем к 1 при w = 0.
Пример модификации фильтра МНК 2-го порядка.
Передаточная функция: выражение (2.1.7). Частотная характеристика (нормировку можно снять):
H(w) = -3exp(2jw)+12exp(jw)+17+12exp(-jw)-3exp(-2jw).
Замена концевых коэффициентов {значение 3} на параметр b и упрощение:
H(w) = 17+24 cos(w)+2b cos(2w).
При w = p: H(p) = 17-24+2b = 0. Отсюда: b = 3.5
Новая частотная характеристика (с приведением коэффициентов к целым числам):
H(w) = 68+96 cos(w)+14 cos(2w). Сумма коэффициентов при w = 0: H(0) = 68+96+14 = 178.
Нормированная частотная характеристика: H(w) = (68+96 cos(w)+14 cos(2w))/178.
Коэффициенты фильтра: hn = {(7,48,68,48,7)/178}.
Пример- задание: Модифицировать 7, 9 и 11-ти точечные сглаживающие фильтры МНК 2-го порядка.
Контроль: 7hn = {(1,6,12,14,12,6,1)/52}. 9hn = {(-1,28,78,108,118,108,78,28,-1)/548}.
11h n = {(-11,18,88,138,168,178,168,138,88,18,-11)/980}.
Сравнительные графики частотных характеристик модифицированных фильтров МНК второго порядка приведены на рисунке 2.1.8.
Фильтры МНК третьего порядка по своим частотным характеристикам эквивалентны фильтрам второго порядка.
Фильтры МНК 4-го порядка. Расчет по аналогичной методике сглаживающих фильтров МНК 4-ой степени дает следующие результаты:
h0-3 = (131,75,-30,5)/231,
h0-4 = (179,135,30,-55,15)/429,
h0-5 = (143,120,60,-10,-45,18)/429,
h0-6 = (677,600,390,110,-135,-198,110)/2431.
На рис. 2.1.12 приведено сопоставление частотных характеристик одноразмерных фильтров МНК 1-го, 2-го и 4-го порядка.
Рис. 2.1.12. Сглаживающие фильтры МНК.
В целом, по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следующие выводы:
1. Повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте w = 0 и расширяет полосу пропускания фильтра.
2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.
3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов.
Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.
2.2. Разностные операторы /24/.
Рассмотрим примеры частотного подхода при анализе разностных операторов.
Разностный оператор 1-го порядка имеет вид:
Dsk = sk+1-sk.
Последовательное n-кратное применение оператора записывается в виде оператора n-го порядка:
Dn(sk) = D[Dn-1(sk)] = Dsk*Dn-1(sk) (2.2.1)
| k | sk | D(sk) | D2(sk) | D3(sk) | D4(sk) | D5(sk) | D6(sk) |
| -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 | 0 0 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 | 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 | 0 0 0 0 1 -3 3 -1 0 | 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 | 0 0 1 -5 10 -10 5 -1 0 | 0 1 -6 15 -20 15 -6 1 0 |
| Кq | 2 | 6 | 20 | 70 | 252 | 924 |
Слева приводится таблица выходных значений импульсной реакции разностных операторов на единичный импульсный сигнал Кронекера. Как видно из таблицы, ряды последовательных разностей содержат знакопеременные биномиальные коэффициенты. В представленной форме разностные операторы являются каузальными фазосдвигающими (односторонними), но нетрудно заметить, что операторы четных степеней могут быть переведены в симметричную форму сдвигом вперед на половину окна оператора.
В последней строке таблицы приводятся коэффициенты усиления дисперсии шумов, значение которых резко нарастает по мере увеличения порядка оператора. Это позволяет использовать разностные операторы с порядком выше 1 для определения местоположения статистически распределенных шумов в массивах данных. Особенно наглядно эту возможность можно видеть на частотных характеристиках операторов.
Подставляя сигнал s(k) = exp(jwk) в (2.2.1) и упрощая, получаем:
Dns(k) = (jn) exp(jwn/2) [2 sin(w/2)]n exp(jwk). (2.2.2)
Так как первые два множителя в выражении (2.2.2) равны 1, зависимость коэффициента передачи разностного оператора от частоты определяется вторым сомножителем (2 sin(w/2))n и представлена на рисунке 2.2.1.
Рис. 2.2.1. Разностные фильтры.
Как следует из рисунка, разностные операторы подавляют постоянную составляющую сигнала и его гармоники в первой трети интервала Найквиста и увеличивают высокочастотные составляющие сигнала в остальной части интервала тем больше, чем больше порядок оператора. Как правило, эту часть главного интервала спектра сигналов занимают высокочастотные статистические шумы.
Шумы при анализе данных также могут представлять собой определенную информацию, например, по стабильности условий измерений и по влиянию на измерения внешних дестабилизирующих факторов. На рис. 2.2.2 приведен пример выделения интервалов интенсивных шумов в данных акустического каротажа, что может свидетельствовать о сильной трещиноватости пород на этих интервалах. Такая информация относится уже не шумовой, а к весьма полезной информации при поисках и разведке нефти, газа и воды.
Рис. 2.2.2.
Восстановление данных. Разностные операторы имеют одну особенность: оператор n+1 порядка аннулирует полином степени n, т.е. свертка оператора n+1 порядка с полиномом n-ой степени дает нулевые значения: Dn+1* Pn(k) = 0. Эту особенность можно использовать для создания очень простых и достаточно надежных операторов восстановления в массивах пропущенных и утраченных значений или для замены аннулированных при обработке величин (например, явных выбросов).
Пример. P2(k) = xk = 1+2k-k2, k = 0,1,2,... xk = 1,2,1,-2,-7,-14,-23,-34,... yk = xk*D3=0,0,0,0,...
Если считать, что отрезок данных, содержащий пропуск, является многочленом некоторой степени, то свертка данных с разностным оператором следующего порядка должна быть равна нулю. Так, при аппроксимации данных многочленом третьей степени для любой точки массива должно выполняться равенство:
D4·(sk) = sk-2-4sk-1+6sk-4sk+1+sk+2 = 0.
Интерполяционный фильтр восстановления утраченной центральной точки данных: