Тема 2: частотный анализ цифровых фильтров (стр. 5 из 5)

y_k+1= y_k-1+(s_k+1+4s_k+s_k-1)/3. (2.3.4)

Частотный анализ фильтра проведите самостоятельно. Контроль:

K(w) = (2+cos w)/[3 sin(w)/w].

Рис. 2.3.1. Коэффициенты соответствия.

Графики функций К(w) приведены на рисунке 2.3.1. При интегрировании происходит накопление результатов по всему предыдущему циклу суммирования и в этих условиях значение коэффициента K(w) является более представительным и информационным, чем передаточная функция оператора для одной текущей точки.

Наиболее простые формулы цифрового интегрирования, трапеций и прямоугольников, ведут себя различным образом в главном частотном диапазоне. Формула прямоугольников завышает результаты на высоких частотах, а формула трапеций - занижает. Эти особенности легко объяснимы. Для одиночной гармоники площадь трапеции по двум последовательным отсчетам всегда меньше, чем площадь с выпуклой дугой гармоники между этими отсчетами, и разница тем больше, чем больше частота. В пределе, для гармоники с частотой Найквиста, отсчеты соответствуют знакочередующемуся ряду (типа 1, -1, 1, -1, ... или любые другие значения в зависимости от амплитуды и начального фазового угла) и при нулевых начальных условиях суммирование двух последовательных отсчетов в формуле (3.2.1) будет давать 0 и накопления результатов не происходит. Интегрирование по площади прямоугольников с отчетом высоты по центральной точке между двумя отсчетами всегда ведет к завышению площади прямоугольника относительно площади, ограниченной выпуклой дугой гармоники.

Формула Симпсона отличается от формул трапеций и прямоугольников более высокой степенью касания единичного значения, что обеспечивает более высокую точность интегрирования в первой половине главного диапазона. Однако на высоких частотах погрешность начинает резко нарастать вплоть до выхода на бесконечность на конце диапазона (полюс в знаменателе передаточной функции рекурсивного фильтра на частоте Найквиста).

Эти особенности интегрирования следует учитывать при обработке данных сложного спектрального состава.

Курсовая работа 4 - Разработка методики расчета полосовых фильтров интегрирования.

2.4. Расчет фильтра по частотной характеристике.

В качестве примера проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ исходя непосредственно из требуемой формы частотной характеристики. Расчет выполним для фильтра с окном в пять точек:

y_k= as_k-2+bs_k-1+cs_k+bs_k+1+as_k+2. (2.4.1)

Полагаем s_k= exp(jwk), при этом y_k= H(w)exp(jwk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jwk) и, объединяя комплексно сопряженные члены в правой части, получаем уравнение передаточной функции:

H(w) = 2a cos(2w)+2b cos(w)+ c.

Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H(p) = 0. Отсюда:

H(0) = 2a+2b+c = 1,

H(p) = 2a-2b+c = 0.

B = 1/4, c = 1/2-2a.

При этом функция H(w) превращается в однопараметровую:

H(w) = 2a(cos(2w)-1)+(cos(w)+1)/2.

По полученному выражению рекомендуется построить семейство кривых в параметрической зависимости от значений 'а' и выбрать фильтр, удовлетворяющий заданию. Пример семейства частотных характеристик приведен на рисунке 2.4.1.

Рис. 2.4.1. Частотные характеристики НЦФ.

Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно. Так, например, если к двум граничным условиям задать третье условие сбалансированности: H(w=p/2) = 0.5, то из трех полученных уравнений сразу же получим все три коэффициента фильтра: a = 0, b = 1/4, c = 1/2 (фильтр сокращается до трех точек).

В принципе, таким методом можно задать любую произвольную форму частотной характеристики симметричного НЦФ с произвольным количеством N точек дискретизации, что определит полное уравнение (2.4.1) с окном 2N+1 точка и соответствующую передаточную функцию фильтра, по которой можно составить и решить N+1 уравнение для определения коэффициентов фильтра.

литература

24. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.

Главный сайт автора ¨ Лекции по ЦОС ¨ Практикум

Сайт автора- http://prodav.narod.ru/

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.