Методические указания к практическии занятиям по дисциплине физика (стр. 2 из 9)

(2.3)

Функцию

можно назвать радиальной плотностью вероятности. Чтобы найти расстояние от центра силового поля до точки, где вероятность обнаружения микрочастицы максимальна, надо исследовать функцию f на экстремум, т.е. .

В декартовой системе координат в одномерном случае, когда

, координату точки, где вероятность обнаружения микрочастицы максимальна, можно найти, исследовав на экстремум функцию

Задача 3

y-функция некоторой частицы имеет вид

, где r – расстояние от этой частицы до силового центра; a = 10^–10 м. Используя условие нормировки, определите коэффициент А.

Решение:

Так как волновая функция сферически симметрична, то выражение для объема

подставляем в формулу (2.2) и рассчитываем нормировочный интеграл, который должен быть равен 1:

м^–1/2

Ответ: 3,99×10⁴ м^–1/2

Задача 4

Найти координату х микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а=10^–9 м с бесконечными стенками, при которой плотность вероятности ее нахождения максимальна. Волновая функция микрочастицы имеет вид

Решение:

Плотность вероятности максимальна, когда квадрат модуля волновой функции максимален, т.е. модуль волновой функции имеет экстремум.

Условие экстремума:

.

Ответ: 0,714 нм

2-1. y-функция некоторой частицы имеет вид

, где r – расстояние от этой частицы до силового центра; a = 10^–10 м.

Определить плотность вероятности нахождения этой частицы на расстоянии r от начала координат.

, r = 2×10^–10 м.

Ответы: 7,29×10²⁶ м^–3

2-2. y-функция некоторой частицы имеет вид

, где r – расстояние от этой частицы до силового центра; a = 10^–10 м.

а) На каком удалении r от начала координат (в нм) вероятность нахождения микрочастицы максимальна?

б) Определить плотность вероятности нахождения этой частицы на расстоянии r от начала координат.

, r = 2×10^–10 м.

Ответы: а) 0,1 нм; б) 5,83×10²⁷ м^–3

2-3. y-функция некоторой частицы имеет вид

, где а – ширина ямы. Используя условие нормировки, определите коэффициент А. а = 10^–9 м.

Ответ: 4,47×10⁴ м^–1/2

2-4. Микрочастица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечными стенками имеет волновую функцию

,

где А² = 3×10⁴⁶ м^-5. Найти ширину ямы а.

Ответ: 1 нм

2-5. Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид

, где r – расстояние от этой частицы до силового центра; a – некоторая постоянная. Определить плотность вероятности нахождения этой частицы на расстоянии r от начала координат.

, r = 2×10^–10 м, a = 10¹⁰ м^–1.

Ответ: 7,29×10²⁶ м^–3

2-6. Найти максимальную плотность вероятности нахождения микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной

а=10^–9 м с бесконечными стенками, если волновая функция имеет вид

а)

. А² = 6,3×10⁸³ м^–9; б) . А² = 3×10⁴⁶ м^–5.

в)

. А² = 2,52×10⁸³ м^–9; г) . А² = 1,05×10⁶⁵ м^–7.

д)

. А² = 1,05×10⁶⁵ м^–7. Ответы:

а) 2,46×10⁹ м^–1; б) 1,88×10⁹ м^–1; в) 2,8×10⁹ м^–1; г) 2,3×10⁹ м^–1; д) 2,3×10⁹ м^–1

2-7. Найти координату х микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а=10^–9 м с бесконечными стенками, при которой плотность вероятности ее нахождения максимальна. Волновая функция микрочастицы имеет вид

а)

; б) ; в) .

г)

Ответы: а) 0,8 нм; б) 0,333 нм; в) 0,25 нм; г) 0,75 нм.

2-8. Волновая функция микрочастицы определена только в области

, где а = 10^–9 (ширина ямы).

а)

; б) ; в) ;

г)

; д)

А) Найти минимальное расстояние между точками, в которых вероятность обнаружения частицы максимальна.

Б) Найти максимальное расстояние между точками, в которых вероятность обнаружения частицы максимальна.

Ответы: А) а) 0,5 нм; б) 0,333 нм; в) 0,25 нм; г) 0,2 нм; д) 0,125 нм

Б) а) 0,5 нм; б) 0,667 нм; в) 0,75 нм; г) 0,8 нм; д) 0,875 нм

2-9. Свободная микрочастица имеет сферически симметричную волновую функцию

, где , a = 10^–10 м. Определить расстояние r от частицы до силового центра (в нм), где плотность вероятности нахождения микрочастицы равна м^-3.

Ответ: 0,2 нм

2-10. Волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

а)

; б) в) , где а = 10^–9 м.

Определить кординату х электрона (в нм), где плотность вероятности его нахождения равна

м^-1.

Ответы: а) 0,25 нм; б) 0,125 нм; в) 0,1 нм

3. Стационарное уравнение Шредингера

Часто встречаются задачи, когда частица движется в стационарном внешнем поле, и ее потенциальная энергия не зависит явно от времени. В этом случае состояние частицы можно описать волновой функцией

, зависящей только от координат, которая является решением стационарного уравнения Шредингера:

, (3.1)

где

(3.2)

– оператор Лапласа (в декартовой системе координат), m – масса частицы, Е – ее полная энергия,

– потенциальная энергия частицы. Таким образом – кинетическя энергия частицы.

Задача 5

Волновая функция микрочастицы с массой m имеет вид:

. Кинетическая энергия частицы равна Е_к. Найти константу a. Принять Дж×с; E_к = 5 эВ; m= 2,5×10^–29 кг;

b = 6×10¹⁰ м^–1; g = 2×10¹⁰ м^–1.

Решение:

Определим вторые частные производные от волновой функции: