Методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине "Основы программирования" (стр. 4 из 40)

Сущность алгоритма Е: даны два целых положительных числа т и п. Требуется найти их наибольший общий делитель, т.е. наибольшее целое положительное число, которое нацело делит оба числа т и п. Алгоритм состоит из трех элементарных типовых действий: Е1, Е2 и Е3 (рис. 1.1).

Действие Е1. Нахождение остатка.

Разделим m на п, и пусть остаток от деления будет равен r, где

.

Действие Е2. Сравнение с нулем.

Если r = 0, то выполнение алгоритма прекращается; п – это искомое значение.

Действие Е3. Замещение.

Присвоить m ¬ n, n ¬ r и вернуться к шагу E1. ô

Разумеется, у Евклида этот алгоритм сформулирован не совсем так. Приведенная выше формулировка иллюстрирует стиль, в котором алгоритмы будут представлены на протяжении всей этой книги.

Каждому рассматриваемому алгоритму присваивается идентифицирующая буква (в предыдущем примере использовалась буква Е), а шагам алгоритма – эта же буква в сочетании с числом (El, Е2, ЕЗ).

Каждый шаг любого алгоритма, например Е1 в вышеприведенном алгоритме, начинается фразой, которая как можно более кратко выражает содержание данного шага. Обычно эта фраза отражается также в сопровождающей алгоритм блок-схеме, такой как на рис. 1.1, чтобы читатель мог легко представить себе описанный алгоритм.

За краткой фразой следует формулировка (выраженная с помощью слов и символов) действия, которое нужно выполнить, или решения, которое нужно принять. Могут присутствовать также заключенные в круглые

скобки комментарии. Комментарии играют роль пояснений к шагу; с их помощью часто указываются некоторые постоянные характеристики переменных или текущие цели данного этапа. В комментариях не определяются действия, которые являются составной частью алгоритма; они служат только для удобства читателя, чтобы по возможности помочь ему разобраться в алгоритме.

Стрелка «¬», используемая на шаге ЕЗ, обозначает важнейшую операцию замещения, которую иногда называют присвоением или подстановкой: запись m ¬ n указывает, что значение переменной т замещается текущим значением переменной п. В начале работы алгоритма Е, т и п – это заданные первоначальные значения, но по окончании его работы эти переменные будут иметь, вообще говоря, совершенно другие значения.

Стрелка используется для того, чтобы отличать операцию замещения от отношения равенства. Мы не будем говорить: «Установим т = п», а, вероятно, спросим: «Действительно ли т = п?». Знак «=» обозначает условие, которое можно проверить, а знак «¬» – действие, которое можно выполнить. Операция увеличение п на единицу обозначается через п ¬ п+1 и читается так: «п замещается значением п+1» или «п принимает значение п+1». Вообще говоря, запись «переменная ¬ формула» означает, что формула будет вычислена на основании текущих значений всех входящих в нее переменных, а полученный результат будет присвоен переменной, стоящей слева от стрелки (таким образом, вычисленный по формуле результат заменит собой предыдущее значение переменной слева). Лица, не имеющие достаточного опыта программирования, иногда говорят, что «п переходит в п+1» и для обозначения операции увеличения п на единицу используют запись п ® п+1. Такая система обозначений и формулировок противоречит стандартным соглашениям и может привести только к путанице, поэтому ее следует избегать.

Обратите внимание, что на шаге ЕЗ очень важен порядок действий. Действительно, две записи:

1) «присвоить m ¬ n, n ¬ r »

и

2) «присвоить n ¬ r, m ¬ n »

– это совсем не одно и то же.

Из второй записи следует, что предыдущее значение n будет потеряно до того, как его смогут присвоить т. На самом деле эквивалентом второй записи будет «присвоить n ¬ r, т ¬ r ». Когда нескольким переменным присваивается одно и то же значение, в одном выражении можно использовать несколько стрелок. Так, например, операцию « n ¬ r, т ¬ r » можно записать как « n ¬ т ¬r ».

Операцию взаимного обмена значениями двух переменных можно записать так: «Обмен т « n». Ее можно записать и с помощью новой переменной t следующим образом: "Присвоить t ¬ т, т ¬ п, п ¬ t.

Выполнение алгоритма начинается с шага, имеющего наименьший номер (обычно это шаг 1). Затем последовательно выполняются следующие шаги, если нет каких-либо указаний, нарушающих естественный порядок выполнения. На шаге ЕЗ указание «Вернуться к шагу Е1» явным образом определяет порядок вычислений. На шаге Е2 действию предшествует условие «Если r = 0» и если r # 0, то оставшаяся часть предложения не применяется и нет указаний на выполнение в этом случае каких-либо действий. Конечно, мы могли бы добавить дополнительное предложение «Если r # 0, то перейти к шагу ЕЗ», но это совершенно излишне.

Жирная вертикальная черточка «ô», помещенная в конце шага ЕЗ, обозначает окончание алгоритма и продолжение текста.

Итак, мы обсудили практически все соглашения об обозначениях, которые используются в алгоритмах, приведенных в книге. Осталось выяснить только, как обозначать величины с индексами (или «подстрочными» индексами), которые являются элементами упорядоченного массива. Предположим, у нас есть п величин: v₁, v₂, …, v_n . Для обозначения j-го элемента вместо записи v_j часто используется запись v[j]. Аналогично массив иногда предпочитают обозначать как а[i, j], вместо того чтобы использовать два подстрочных индекса, как в записи a_ij. Иногда для обозначения переменных используются имена, состоящие из нескольких букв, обычно прописных. Например, TEMP может быть именем переменной, использующейся для временного хранения вычисленного значения, a PRIME [К] может обозначать k-е простое число, и т.д.

До сих пор мы говорили о форме записи алгоритмов, а теперь давайте попробуем выполнить один из них. Хочу сразу заметить, что читателю не следует рассчитывать на то, что алгоритмы можно читать, как роман. Такое чтение приведет к тому, что вам будет трудно понять, что же на самом деле происходит при выполнении алгоритма. Чтобы проверить алгоритм, в нем нужно разобраться, и лучший способ понять, как он работает, – испытать его. Поэтому нужно взять карандаш и бумагу и прорабатывать от начала до конца каждый алгоритм сразу же, как только он встретится в тексте. Обычно к примеру алгоритма прилагается схема, в противном случае читатель легко сможет представить ее. Это самый простой и доступный способ разобраться в алгоритме, в то время как все остальные подходы оказываются неэффективными.

Итак, давайте в качестве примера разберем алгоритм Е. Предположим, что m = 119 и n = 544.

Начнем с шага Е1. Деление m на n в этом случае выполняется просто, даже очень просто, так как частное равно нулю, а остаток – это 119. Таким образом, r ¬ 119. Переходим к шагу Е2. Поскольку r # 0, на этом шаге никакие действия не выполняются.

На шаге ЕЗ присваиваем т ¬ 544, п ¬ 119. Очевидно, что если первоначально m < п, то частное на шаге Е1 всегда оказывается равным нулю и в ходе выполнения алгоритма всегда происходит взаимный обмен значений переменных тип, хотя и таким громоздким способом. Поэтому можно добавить дополнительный шаг:

Действие Е0. Гарантировать, что m > п.

Если m < п, то выполнить взаимный обмен т « n.

В результате алгоритм изменится незначительно (разве что увеличится на один шаг), но зато время его выполнения сократится примерно в половине случаев.

Вернемся к шагу Е1. Находим, что

.

Поэтому r ¬ 68. В результате на шаге Е2 снова не выполняются никакие действия, а на шаге ЕЗ присваиваем т ¬ 119, п ¬ 68.

В следующих циклах сначала получаем r ¬ 51 и т ¬ 68, п ¬ 51, а затем: r ¬ 17 и т ¬ 51, п ¬ 17.

Наконец, в результате деления 51 на 17 получаем: r ¬ 0. Таким образом, на шаге Е2 выполнение алгоритма прекращается. Наибольший общий делитель 119 и 544 равен 17.

Вот что такое алгоритм.

1.2. Особенности алгоритмов. Программы

Современное значение слова «алгоритм» во многом аналогично таким понятиям, как рецепт, процесс, метод, способ, процедура, программа. Но все-таки, слово «algorithm» имеет дополнительный смысловой оттенок. Алгоритм – это не просто набор конечного числа правил, задающих последовательность выполнения операций для решения задачи определенного типа. Помимо этого, он имеет пять важных особенностей.

1. Конечность. Алгоритм всегда должен заканчиваться после выполнения конечного числа шагов. Алгоритм Е удовлетворяет этому условию, потому что после шага Е1 значение r меньше, чем п. Поэтому если r # 0, то в следующем цикле на шаге Е1 значение п уменьшается. Убывающая последовательность положительных целых чисел имеет конечное число членов, поэтому шаг Е1 может выполняться только конечное число раз для любого первоначально заданного значения п. Но нужно иметь в виду, что количество шагов может быть сколь угодно большим; выбор слишком больших значений тип приведет к тому, что шаг Е1 будет выполняться более миллиона раз.

Процедура, обладающая всеми характеристиками алгоритма, за исключением, возможно, конечности, называется методом вычислений. Евклид предложил не только алгоритм нахождения наибольшего общего делителя, но и аналогичное ему геометрическое построение «наибольшей общей меры» длин двух отрезков прямой; это уже метод вычислений, выполнение которого не заканчивается, если заданные длины оказываются несоизмеримыми.