Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 2 из 7)

Контрольная работа не засчитывается, если ее вариант не соответствует выданному студенту.

Студент, не получивший зачет хотя бы по одной контрольной работе, к экзамену или зачету не допускается. Зачтенные работы представляются на экзамен или зачет по математике и возврату не подлежат.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой величины (точное число), а через а ее приближенное значение (приближенное число).

Число

называется абсолютной погрешностью приближенного числа а.

Обычно абсолютная погрешность числа а неизвестна, так как не дано точное значение х, а известна так называемая предельная абсолютная погрешность. Число

называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а, если

Относительной погрешностью d приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине точного числа х:

.

Иногда в качестве относительной погрешности принимают величину

, где - предельная абсолютная погрешность.

Если точное значение числа х неизвестно, а

мало по сравнению с |а|, то можно считать, что

.

Относительную погрешность часто выражают в процентах, т. е.

.

Цифра данного разряда приближенного числа а называется верной, если абсолютная погрешность

этого числа не превосходит пяти единиц следующего справа разряда. В противном случае эта цифра называется неверной.

Для всякого десятичного числа

существует первая слева цифра, отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей цифрой числа а. Все цифры, начиная с первой значащей и правее, являются значащими цифрами числа а. Говорят, что приближенное число а имеет п верных значащих цифр, если его п-я и предшествующие ей значащие цифры верные, а (п + 1)-ая цифра - неверная.

В вычислительной практике также употребляют термин "число верных десятичных знаков" - под ним понимают число верных цифр в десятичной дроби после нулей, указывающих разряды. Цифры приближенного числа, не являющиеся верными, отбрасывают, а число при этом округляют.

Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр, считая слева направо, больше 5, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу.

Если отбрасывается только цифра 5, а предшествующая ей цифра четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует если - нечетная, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу (правило четных знаков).

Пример,

Округляя число до трех значащих цифр, получим , округляя его до четырех значащих цифр, получим , а округляя его до пяти значащих цифр, получим .

Окончательные результаты вычислении обычно округляют на последней верной цифре, а в промежуточных результатах удерживают одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.

При этом пользуются следующими правилами определения верных цифр результата:

1. При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков;

2. При умножении приближенных чисел в произведении следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом верных значащих цифр;

3. При возведении в степень и извлечении корня число верных значащих цифр результата равно числу верных значащих цифр основания степени;

4. (Правило запасной цифры). Для того, чтобы в результате небольшого количества алгебраических действий над приближенными числами получить результат с п верными цифрами, достаточно исходные данные взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточных результатах сохранять (n+1) верных цифр, а окончательный результат округлить до п цифр.

Пример 1. Найти сумму S = 54,70 + 386,358 + 32,4357, предполагая, что все слагаемые выписаны с верными цифрами.

Последний верный разряд суммы - разряд сотых (см. первое слагаемое). Два остальных числа округляем на разряде тысячных (правило 4).

54,70 + 386,358 + 32,4357 = 473,494

Окончательный результат -

473,49 (правило 1).

Пример 2. Найти произведение 82,246 и 7,48. Второй сомножитель содержит наименьшее число верных значащих цифр (три). Поэтому первый сомножитель округляем до 82,25 (правило 4).

Производим умножение 82,25 7,48 = 615,2300. Результат округляем 615,23 (правило 2).

Применяя приведенные выше правила, следует иметь в виду, что они не дают гарантии точности последней цифры результата. При большом числе операций результат может иметь погрешность, достигающую даже нескольких единиц. Но при небольшом числе действий более вероятны малые значения этой погрешности.

Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Для этого нужно пользоваться калькуляторами, электронными вычислительными машинами, а также математическими таблицами степеней, корней, обратных чисел (например, В. М. Брадис. Четырехзначные математические таблицы, любой год издания). Всякая вычислительная работа должна контролироваться. Простейшим методом контроля является выполнение решения заново (лучше спустя некоторое время) и сверка полученных результатов.

Основные правила приближенных вычислений будут нужны и в дальнейшем - при выполнении контрольных работ по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию и многим специальным дисциплинам.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1 "ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ"

Перед выполнением контрольной работы № 1 необходимо изучить и закрепить с помощью примеров для самостоятельной работы (см. рабочую программу) такие разделы и понятия как определители и их свойства; способы вычисления определителей второго и третьего порядков; алгебраические дополнения элемента определителя; вычисление определителей 4-го и более высоких порядков с помощь ю свойств определителя; матрицы и основные операции над ними, понятие обратной матрицы; элементарные преобразования над элементами строк (столбцов) матрицы; ранг матрицы и способы его вычисления; теорема Кронекера - Капелли; методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Литература: /1/ гл. 1 §1.1-1.6; гл. 2 § 2.1-2.5;

/3/ гл. 4 § 1, 2, 4-7.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задание 1. Для данного определителя

найти миноры и алгебраические дополнения элементов . Вычислить определитель : а) разложив его по элементам i-ой строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-ой строки.

i = 1, j = 2

Решение: 1. Находим миноры к элементам

:

Алгебраические дополнения элементов

соответственно равны:

2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:

в) Вычисли определитель

, получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его: