В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по свойству тому же свойству определителей.
Задание 2. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в)
; г) .Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле
. Имеем:б) Вычислим
в) Обратная матрица
матрицы А имеет видгде
,т.е. матрица A - невырожденная, и, значит, существует матрица . Находим:
Тогда
; ;Задание 3. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
.Следовательно,
(т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.а) По формулам Крамера
,где
, , , ,находим:
.б) Решим систему методом Гаусса. Исключим
из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:Из полученной системы находим
.Задание 4. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера - Капелли. В расширенной матрице
меняем третий и первый столбцы местами, умножаем первую строку на 3 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей, из второй строки вычитаем третью:
.Теперь ясно, что
. Согласно теореме Кронекера - Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.Задание 5. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
,поэтому система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение:
Задание 6. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение: Так как определитель системы
,то система имеет бесчисленное множество решений. Поскольку ,
, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение. Имеем:Так как определитель из коэффициентов при неизвестных
и не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем и (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с в правые части уравнений:Решаем последнюю систему по формулам Крамера :
где
,