Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 4 из 7)
, 
.Отсюда находим, что 
Полагая
, где k—произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной системы: 
. Перед выполнением контрольной работы № 2 необходимо изучить такие разделы и понятия высшей математики как прямоугольная декартова система координат, полярная система координат, векторы, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось, деление отрезка в заданном отношении, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, прямая на плоскости и в пространстве, плоскость в пространстве, понятие линии на плоскости и в пространстве, кривые второго порядка, понятие поверхности в пространстве, поверхности второго порядка, линии, заданные уравнениями в полярной системе координат и параметрически.
Литература: /1/ гл. 3 §3.1-3.4, 3.6, 3.7; гл. 4 § 4.1-4.5, 4.7;
/2/ § 3-5;
/3/ гл. 1 § 1-3.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Даны векторы
.Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов a, b, 5c; б) найти модуль векторного произведения векторов 3c, b; в) вычислить скалярное произведение двух векторов a, 3b; г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора a, b; д) проверить, будут ли компланарны три вектора a, b, c.
Решение:
а) Так как
, то 
б) Поскольку
, то 
.в) Находим:
г) Так как
и 
, то векторы 
и 
не коллинеарны. Поскольку 
, то векторы и не ортогональны;д) векторы a, b, c компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, т.е.
. Вычисляем 
,т. е. векторы a, b, c не компланарны.
Задание 2. Даны вершины треугольника
. Найти:а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты СН;
в) уравнение медианы АМ;
г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
е) расстояние от точки C до прямой AB.
Решение:
а) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки
,получим уравнение стороны АВ:
.откуда
или 
.б) Используя уравнение прямой
найдем угловой коэффициент прямой АВ
Тогда
. С учетом условия перпендикулярности прямых АВ и СН ( 
) угловой коэффициент высоты СН: 
.Используя уравнение прямой проходящее через точку с угловым коэффициентом
составим уравнение высоты СН. По точке С(2, 7) и угловому коэффициенту
составляем уравнение высоты СН : 
или 
.в) По формулам координат середины отрезка
находим координаты х, у середины М отрезка ВС:
.Теперь по двум известным точкам A и М составляем уравнение медианы AM:
или 
.г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты СН составляем систему уравнений
Решая ее, получаем
;д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне АВ, то их угловые коэффициенты равны
. Тогда, согласно уравнению 
,по точке С и угловому коэффициенту
составляем уравнение прямой CD: 
или 
.е) Расстояние от точки С до прямой АВ вычисляем по формуле:
.Тогда
.Построим координаты вершин треугольника, все точки и прямые найденные при решении данной задачи в прямоугольной системе координат (рис. 1).
 |
Задание 3. Составить канонические уравнения:
а) эллипса; большая полуось которого равна 3, а фокус находится в точке F(
, 0). Т.е. a = 3, F( 
, 0).б) гиперболы с мнимой полуосью, равной 2, и фокусом F(-
, 0). Т.е. b = 2, F(- 
, 0).в) параболы, имеющей директрису x = - 3. Т.е. D: x = - 3.
Где F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, D - директриса кривой.
Решение:
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид
По условию задачи большая полуось
. Для эллипса выполняется равенство 
. Подставив в него значения 
и 
, найдем 
. Тогда искомое уравнение эллипса 
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
