Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 5 из 7)

По условию мнимая полуось

. Для гиперболы справедливо равенство

. Поэтому

. Записываем искомое уравнение гиперболы:

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид

а уравнение ее директрисы

. Но по условию задачи уравнение директрисы

. Поэтому

и искомое каноническое уравнение параболы имеет вид

Задание 4. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса

и имеющей центр в его верхней вершине.

Решение:

Для данного эллипса

верхняя вершина

. Поэтому

и фокусы находятся в точках

. Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:

В соответствии с каноническим уравнением окружности

записываем искомое уравнение окружности:

или

Задание 5. Построить кардиоиду, заданную уравнением в полярной системе координат

Решение: Составим таблицу, в которой приведены значения полярного угла

и соответствующие им значения полярного радиуса

j_i	0	p/6	p/4	p/3	p/2	2p/3	3p/4	5p/6	p	7p/6
r_i	4	2	1,2	0,6	0	0,6	1,2	2	4	6

j_i	5p/4	4p/3	3p/2	5p/3	7p/4	11p/6
r_i	6,8	7,4	8	7,4	6,8	6

Построив найденные точки

в полярной системе координат (отложив угол

от полярной оси и вдоль полученной прямой расстояние r) и соединив их плавной линией, получим достаточно точное представление о кардиоиде (рис. 2).

Рис. 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3 "ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ"

Перед выполнением контрольной работы № 3 необходимо изучить следующие разделы и понятия высшей математики: числовые множества, определение и способы задания функции, пределы числовых последовательностей и функций, виды основных неопределенностей и способы их раскрытия, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых функций, непрерывность функций, точки разрыва и их классификация.

При вычислении пределов функций или числовых последовательностей необходимо вначале определить тип неопределенности (если таковая имеется при вычислении предела), а затем в соответствии с типом неопределенности выбрать метод ее раскрытия. Выполнение контрольной работы № 3 не предусматривает использование правила Лопиталя.

Литература: /1/ гл. 5 § 5.1-5.5; гл. 6 § 6.1-6.7;

/2/ гл. 3 §2; гл. 4 § 1, 3-11;

/3/ гл. 6 § 1-6.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задание 1. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель

, который при

не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Задание 2. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

или

Задание 3. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Задание 4. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Задание 5. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель

, который при

не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Задание 6. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом

Задание 7. Найти предел функции

Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

Имеем

, тогда

Задание 8. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции