Смекни!
smekni.com

Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 6 из 7)

Решение: Имеем неопределенность вида

. Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как
и
, то

Задание 9. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график

Решение:

Функция

является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах
, где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках
и
.

Для точки

имеем:

,
,
.

Так как

, то функция
в точке
имеет разрыв первого рода.

Для точки

находим:

,

,

.

Так как

, то функция
в точке
имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рис. 3.


Рис. 3.

Задание 10. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках

Решение:

Для точки

имеем:

,

,

т.е. в точке

функция
имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв).

Для точки

имеем:

,

,

Следовательно, в точке

функция
непрерывна.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4 "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ"

Перед выполнением контрольной работы № 4 необходимо изучить следующие разделы и понятия высшей математики производная, ее геометрический и физический смысл, правила и формулы дифференцирования; логарифмическое дифференцирование; производные высших порядков; дифференциалы первого и высших порядков и их приложения; теоремы о среднем и правило Лопиталя; исследования поведения функции и их графиков; схема полного исследования функции и построение ее графика.

Литература: /1/ гл. 7 § 7.1-7.7; гл. 8 § 8.1-8.9;

/2/ гл. 5 § 1, 4-6, 8, 9, 12, 13, 15;

/3/ гл. 7 § 1, 2.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задание 1. Найти производную функции

Решение:

Задание 2. Найти производную функции

Решение:

Задание 3. Найти производную функции

Решение:

Задание 4. Найти производную функции

Решение:

Задание 5. Найти производную функции

Решение:

Задание 6. Найти производную функции

Решение:

Задание 7. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции

Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования. Для этого предварительно прологарифмируем обе части данного выражения и используя свойства логарифма преобразуем правую часть.

.

Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что y сложная функция

,

.

Выражая производную искомой функция, получим

Учитывая, что

, окончательно получим

.

Задание 8. Провести полное исследование функции и построить ее график

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

1. найти область определения функции;

2. исследовать на четность и нечетность функцию;

3. найти точки разрыва функции;

4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

1. Областью определения функции является множество

.

2. Так как

и
, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция претерпевает разрыв в точке

.

4. Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая

является вертикальной асимптотой, т.к.

,

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот)

,