Смекни!
smekni.com

Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «математика» (стр. 7 из 7)

где

;

Таким образом, прямая

является единственной наклонной асимптотой и на
, и на
.

5. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью

:
,
, т.е. точка пересечения с осью
-
.

б) С осью

:
,
, т.е. точка пересечения с осью
-
.

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из

получаем
, откуда
,
.

+ _ +

x

-3 11

Так как на интервалах

и
производная положительна, т.е.
, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале
производная отрицательна, т.е.
, то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки

,
производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то
,
- точки локального экстремума. Причем
точка локального минимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");
- точка локального максимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале

вторая производная меньше нуля, т.е.
, и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале
вторая производная больше нуля, т.е.
, и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку

вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как
не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из

получаем
, откуда
,
.

+ _ +

x

-3 11

Так как на интервалах

и
производная положительна, т.е.
, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале
производная отрицательна, т.е.
, то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки

,
производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то
,
- точки локального экстремума. Причем
точка локального минимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");
- точка локального максимума:
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

8. График функции изображен на рис. 4.


Рис. 4.

ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Под ред. проф. Кремера Н.Ш. –М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. Для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш.школа. 1996. - 479 с.

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1. - М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1986. – 544 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Высшая школа, 1982.

2. Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. - М.: Высш. шк., 1986. – 480 с.