Смекни!
smekni.com

Тема 13. Деконволюция цифровых сигналов если дом красив, то мы понимаем, что он был выстроен для хозяев, а не для мышей (стр. 3 из 4)

A(z) = H(z)H*(z), (13.3.6)

где H*(z)- функция, комплексно сопряженная с H(z). Переносим H(z) в левую часть формулы и для функций диракоидного типа заменяем выражение 1/H(z) = H-1(z):

А(z)H-1(z) = H*(z). (13.3.7)

Запишем последнее равенство в развернутом виде:

(a-Nz-N+ ... +a-1z-1+a0+a1z1+ ... +aNzN)(h0-1+h1-1z1+h2-1z2+ ... +hN-1zN) =

= h0*+h1*z-1+h2*z-2+ ... +hN*zN. (13.3.8)

В выражении (13.3.8) сумма коэффициентов при одинаковых степенях z в левой части равенства должна быть равна коэффициенту при соответствующей степени z в правой части равенства, что позволяет составить следующую систему из N уравнений для коэффициентов при степенях z0, z1, z2, ... , zN:

a0 h0-1 + a-1 h1-1 + a-2 h2-1 + a-3 h3-1 + ... + a-N hN-1 = h0* (13.3.9)

a1 h0-1 + a0 h1-1 + a-1 h2-1 + a-2 h3-1 + ... + a-N-1 hN-1 = 0

a2 h0-1 + a1 h1-1 + a0 h2-1 + a5 h3-1 + ... + a-N-2 hN-1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aN h0-1 + aN-1 h1-1 + aN-2 h2-1 + aN-3 h3-1 +... +a0 h-N -1 = 0

В случае вещественных фильтров, когда ai = a-i и h0* = h0, уравнение (13.3.9) идентично уравнению (13.3.5).

Уравнение Левинсона. Практический способ расчета оптимальных инверсных фильтров по уравнению (13.3.9) предложен в 1947 году Н.Левинсоном.

Перепишем уравнение (13.3.9) в матричной форме:

(13.3.10)

Так как коэффициенты инверсного фильтра достаточно определить с точностью до произвольного масштабного множителя, приведем ho-1 к 1, a функцию автоковариации переведем в функцию коэффициентов корреляции делением обеих частей уравнения на ао. Обозначая Ai = ai/ao, Wi = hi-1/ho-1 и V = ho*/(ho-1ao) = hoho*/ao , получаем:

(13.3.11)

где для значений W и V введен индекс j номеров предстоящих итераций по циклу вычисления коэффициентов фильтра.

При нулевой итерации (N=0, j=0) имеем только одно уравнение:

. (13.3.12)

Благодаря проведенной нормировке решения уравнения (13.3.12) не требуется:

А0= 1, V0= 1, W00= 1.

Составим уравнение для двучленного фильтра (N=1, j=1):

(13.3.13)

Перепишем уравнение (13.3.12) в прямой форме:

А0 W00 = V0. (13.3.14)

Запишем вспомогательную систему, для чего к уравнению (13.3.14) добавим вторую строку с новой постоянной Ej:

A0 W00 + A1·0 = V0,

A1 W00 + A0 ·0 = E1.

В матричной форме:

(13.3.15)

Реверсируем уравнение (13.3.15):

(13.3.16)

Вычтем (13.3.16) из (13.3.15) с неопределенным множителем Rj:

(13.3.17)

Из верхней строки уравнения (13.3.16) можно получить значение Е1:

Е1= A1W00. (13.3.18)

Уравнение (13.3.13) можно сделать равнозначным уравнению (13.3.17), если правую часть нижней строки уравнения (13.3.17) приравнять к правой части нижней строки уравнения (13.3.13):

E1 - R1V0 = 0, R1 = E1/V0. (13.3.19)

При этом из правых частей верхних строк уравнений (13.3.13, 13.3.17) будем иметь:

V1 = V0 - R1E1. (13.3.20)

Приравнивая друг другу левые части уравнений (13.3.13,13.3.17), получаем:

W01 = W00 - R1·0 = W00 = 1.

W11 = 0 - R1W00 = -R1W00. (13.3.21)

Этим заканчивается первая итерация. Аналогично, для второй итерации:

(13.3.22)

(13.3.23)

(13.3.24)

(13.3.25)

Из верхней строки уравнения (13.3.24):

Е2 = A1W11+A2W01.

Из правых частей нижней и верхней строк уравнений (13.3.22, 13.3.25):

R2 = E2/V1,

V2 = V1 - R2E2.

Новые коэффициенты из левых частей уравнений (13.3.22, 13.3.25):

W02 = W01 - R2

0= 1,

W12 = W11 - R2W11,

W22 = 0 - R2W01.

Анализ расчетов позволяет вывести следующие рекуррентные формулы:

Ej =

AiWj-i,j , j = 1,2,...,M. (13.3.26)

Rj = Ej/Vj-1,

Vj = Vj-1 - RjEj,

Wi,j = Wi,j-1 - RjWj-1,j-1, i = 0,1,.., j.

Подпрограммы решения уравнений для ЭВМ приведены в литературе /12,22/.

Курсовая работа 21-07. Разработка программы расчета оптимального фильтра деконволюции сигналов и фильтрации цифровых данных.

13.4. Рекурсивная деконволюция /22/.

Уравнение фильтра рекурсивной деконволюции. Запишем уравнение (13.1.2) для инверсного фильтра в развернутой форме:

H-1(z) = 1/(h0+h1z+h2z2+ ...). (13.4.1)

Так как для минимально-фазового оператора всегда выполняется условие h0

0, приведем (13.4.1) к виду:

H-1(z) = (1/h0)/(1+h1z/h0+h2z2/h0+...) = G/(1+q1z+q2z2+ ...), (13.4.2)

где: G = 1/h0, q1 = h1/h0, q2 = h2/h0 и т.д. Но уравнение (13.4.2) есть не что иное, как уравнение передаточной функции рекурсивного фильтра, где цепь обратной связи образована коэффициентами нормированного оператора h(n). Алгоритм вычислений:

yk = G·xk

qn·yk-n.

Выражение (13.4.2) уникально по своим возможностям. В принципе, оно может реализовать оператор инверсной фильтрации с бесконечным импульсным откликом. На практике оно может использоваться вместо медленно затухающих инверсных операторов, модуль одного из полюсов которого очень близок к 1 (менее 1.1) при высоких требованиях к метрике приближения.

Пример рекурсивной деконволюции.

Рис.13.4.1.

Оператор hn = {0.41, 0.791, 0.401, -0.193, -0.367, -0.166, 0.032, 0.068, 0.027, -0.001}, N=9.

1. Модуль одного из корней фильтра равен 1.032, что приводит к очень слабому затуханию инверсного оператора. Метрика приближения даже при N=100 для усеченного оператора составляет 0.3. Форма операторов приведена на рис. 13.4.1.

Рис.13.4.2.

2. При использовании оптимального инверсного оператора с N=100 значение погрешности приближения уменьшается более чем в 20 раз, что позволяет уменьшить длину оператора до N=35 при погрешности приближения порядка 0.1 (рис 13.4.2(А)), при этом абсолютные значения погрешностей приближения не превышают 0.03 (рис. 13.4.2(В)).

3. Расчет коэффициентов фильтра рекурсивной деконволюции:

G = 1/ho = 2.441

gn = hn·G. gn = {1.932, 0.978, -0.472, -0.896, -0.405, 0.077, 0.165, 0.065, -0.003}, n=1, …, 9.

Рис. 13.4.3.

На рис. 13.4.3 приведен результат рекурсивной деконволюции оператора hn. Деконволюция абсолютно точно, с нулевой метрикой, восстанавливает импульс Кронекера, хотя собственный импульсный отклик рекурсивного оператора повторяет оператор h-1n при его вычислении по формуле (13.2.2) и длительность его значимой части близка к 200. Коэффициент усиления дисперсии шумов при данной операции вычисляется по значениям импульсного отклика оператора рекурсивной деконволюции и весьма существенен, как и для всех инверсных операторов.

Курсовая работа 22-07. Разработка программы расчета рекурсивного фильтра деконволюции сигналов и фильтрации цифровых данных.