Методические указания по выполнению задания 1 42 Приложение 2 45 (стр. 4 из 21)

3. Наивно думать, что эконометрические модели работают в условиях недостаточной информации. Для этого существуют совершенно другие методы. Можно уверенно прогнозировать только те экономические процессы, которые имеют определенную повторяющуюся регулярность во времени и имеется достаточно статистики (не менее 4-х длительных периодов, в которых повторялись эти регулярности). Только в этом случае применение методов эконометрического анализа оправдано и целесообразно.

2. Эконометрический анализ
на основе моделей линейной регрессии

2.1. Однофакторная линейная регрессия

Регрессионные методы позволяют выявить связи между переменными, причем особенно эффективно, если эти связи не совершенны или не имеют точного функционального описания между этими переменными. В эконометрическом анализе используются независимые переменные х_i и одна зависимая переменная y. Регрессией в общем виде представляется функцией следующего вида

(2.1)

где

- известные коэффициенты регрессии;

x_i - переменная. В эконометрическом анализе переменные представляют собой статистические данные, например стоимость товара, объем продаж, курс валюты. Так как эти данные чаще всего «привязаны» ко времени, то в эконометрических моделях используют и другие обозначения переменных, такие как X_t , где индекс t обозначает, что мы используем временной ряд.

e - невязка (ошибка, отклонение), обусловленная недостаточной пригодностью модели и ошибкой данных. Обычно эти причины являются смешанными.

Обозначения в модели 2.1 интерпретируются достаточно просто. Например, сумму

можно представить как сумму произведений коэффициента b и переменной х

В последующем для упрощения выражений знак суммы мы будем обозначать без индексов, как

В том случае, если исследуется влияние одной переменной или фактора, то выражение (2) упрощается к виду

. (2.2)

Выражение (2) представляет собой линейную однофакторную регрессию. Геометрический смысл уравнения 2.2 поясним на рис. 1.

Пусть мы имеем четыре измерения переменной х, которые имеют конкретное значение р_{1 ,}р₂, р₃, р₄. Этим значениям соответствуют определенные значения зависимой переменной y. Тогда уравнение регрессии 2.2 представляет собой прямую линию проведенную определенным образом через точки р_{1 ,}р₂, р₃, р₄ . Так как истинное значение переменной нам неизвестно, то мы предполагаем, что оно располагается на этой прямой в точках Q₁, Q₂, Q_3,Q₄. Свободный член а уравнения 2.2 имеет реальный экономический смысл. Это минимальное или максимальное значение зависимой переменной (результативного признака).

Коэффициент b представляет собой постоянную величину, равную отношению

Какова природа ошибки e?

Существует, по крайней мере, две причины появления в модели 2.2 этой ошибки:

1. Наша модель является упрощением действительности и на самом деле есть еще и другие параметры, от которых зависит переменная y. Например, расходы на питания в семье зависят от размера заработной платы членов семьи, национальных и религиозных традиций, уровня инфляции и т.д.

2. Скорее всего, наши измерения содержат ошибки. Например, данные по расходам семьи на питание составляются на основе анкетного опроса и эти данные не всегда отражают истинное значение параметров.

Таким образом, можно считать, что ошибка e есть случайная величина с некоторой функцией распределения.

Для нахождения коэффициентов уравнений (2.1) и (2.2) используется метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений

, (2.3)

где

- значение результата, вычисленное по уравнению (2) в точке x_i;

y_i - экспериментальное значение результата в этой же точке.

Рассмотрим задачу «наилучшей» аппроксимации набора наблюдений Y_t,, t = 1,..., n, линейной функцией (2.2) минимизацией функционала

Запишем необходимые условия экстремума

Раскроем скобки и получим стандартную форму нормальных уравнений (для краткости опустим индексы суммирования у знака суммы):

а, b – решения системы (2.4) можно легко найти:

Порядок построения эконометрической модели рассмотрим на следующем примере [3].

В таблице 2 представлены статистические данные о расходах на питание и душевом доходе для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода.

В соответствии с этим первый показатель будет результативным признаком, который обозначим у, а другой будет факторным признакам, или просто фактором, и мы обозначим его соответственно х₁ . Это обозначение не случайно, в последующем примере мы рассмотрим более сложную модель, в которой будет два фактора х₁ и х₂.

Таблица 2

Номер группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (х₁)
1	433	628
2	616	1577
3	900	2659
4	1113	3701
5	1305	4796
6	1488	5926
7	1646	7281
8	1914	9350
9	2411	18807

Рассмотрим однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х₁).

Расчеты проведем в таблице 3.

Таблица 3

Номер группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (х₁)	Y Х₁	Х₁²
1	433	628	271924	394384
2	616	1577	971432	2486929
3	900	2659	2393100	7070281
4	1113	3701	4119213	13697401
5	1305	4796	6258780	23001616
6	1488	5926	8817888	35117476
7	1646	7281	11984526	53012961
8	1914	9350	17895900	87422500
9	2411	18807	45343677	353703249
S = *11826*	S = *54725*	S = *98056440*	S = *575906797*

Используя данные табл.3, и (2.4) получим систему уравнений: