Методические указания по выполнению задания 1 42 Приложение 2 45 (стр. 9 из 21)
Стадии анализа временных рядов. Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:
1. Графическое представление и описание поведения временного рада.
2. Выделение и удаление закономерных составляющих временного рада, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих.
3. Выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация).
4. Исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих.
5. Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности.
6. Прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом.
7. Исследование взаимодействий между различными временными радами.
Методы анализа временных рядов. Для решения этих задач существует большое количество различных методов. Из них наиболее распространенными являются следующие:
1. Корреляционный анализ, позволяющий выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция).
2. Спектральный анализ, позволяющий находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда.
3. Сглаживание и фильтрация, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний.
4. Модели авторегрессии и скользящего среднего, которые оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения.
5. Прогнозирование, позволяющее на основе подобранной модели поведения временного рада предсказывать его значения в будущем.
3.3. Модели тренда и методы его выделения из временного ряда
Простейшие модели тренда. Приведем модели трендов, наиболее часто используемые при анализе экономических временных рядов, а также во многих других областях. Во-первых, это простая линейная модель
(3.1)где а0, а1 – коэффициенты модели тренда;
t – время.
В качестве единицы времени может быть час, день (сутки), неделя, месяц, квартал или год. Модель 3.1. несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многих реальных задачах. Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:
1. Полиномиальная:
(3.2)где значение степени полинома п в практических задачах редко превышает 5;
2. Логарифмическая:
(3.3)Эта модель чаще всего применяется для данных, имеющих тенденцию сохранять постоянные темпы прироста;
3. Логистическая:
(3.4)4. Гомперца
(3.5)где
Две последние модели задают кривые тренда S-образной формы. Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце. Необходимость подобных моделей обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное время развиваться с постоянными темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).
При прогнозировании тренд используют в первую очередь для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна.
Для оценки и удаления трендов из временных рядов чаще всего используется метод наименьших квадратов. Этот метод достаточно подробно рассматривался во втором разделе пособия в задачах линейного регрессионного анализа. Значения временного ряда рассматривают как отклик (зависимую переменную), а время t – как фактор, влияющий на отклик (независимую переменную).
Для временных рядов характерна взаимная зависимость его членов (по крайней мере, не далеко отстоящих по времени) и это является существенным отличием от обычного регрессионного анализа, для которого все наблюдения предполагаются независимыми. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет больших выбросов. Упомянутые выше нарушения ограничений регрессионного анализа сказываются не столько на значениях оценок, сколько на их статистических свойствах. Так, при наличии заметной зависимости между членами временного ряда оценки дисперсии, основанные на остаточной сумме квадратов (2.3), дают неправильные результаты. Неправильными оказываются и доверительные интервалы для коэффициентов модели, и т.д. В лучшем случае их можно рассматривать как очень приближенные.
Это положение может быть частично исправлено, если применять модифицированные алгоритмы метода наименьших квадратов, такие как взвешенный метод наименьших квадратов. Однако для этих методов требуется дополнительная информация о том, как меняется дисперсия наблюдений или их корреляция. Если же такая информация недоступна, исследователям приходится применять классический метод наименьших квадратов, несмотря на указанные недостатки.
3.4. Порядок анализа временных рядов
Цель анализа временных рядов обычно заключается в построении математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить его поведение и осуществить прогноз на определенный период времени. Анализ временных рядов включает следующие основные этапы.
Построение и изучение графика. Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика.
Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов. На каждом из них рассматривается ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция (за исключением очень больших значений лагов).
Подбор модели для временного ряда. После того, как исходный процесс максимально приближен к стационарному, можно приступить к подбору различных моделей полученного процесса. Цель этого этапа – описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. При этом на практике чаще всего используются параметрические модели авторегрессии-скользящего среднего (ARIMA-модели)
Модель может считаться подобранной, если остаточная компонента ряда является процессом типа «белого шума», когда остатки распределены по нормальному закону с выборочным средним равным 0. После подбора модели обычно выполняются:
· оценка дисперсии остатков, которая в дальнейшем может быть использована для построения доверительных интервалов прогноза;
· анализ остатков с целью проверки адекватности модели.
Прогнозирование и интерполяция. Последним этапом анализа временного ряда может быть прогнозирование его будущих (экстраполяция) или восстановление пропущенных (интерполяция) значений и указания точности этого прогноза на базе подобранной модели. Не всегда удается хорошо подобрать математическую модель для временного ряда. Неоднозначность подбора модели может наблюдаться как на этапе выделения детерминированной компоненты ряда, так и при выборе структуры ряда остатков. Поэтому исследователи довольно часто прибегают к методу нескольких прогнозов, сделанных с помощью разных моделей.
Методы анализа. При анализе временных рядов обычно используются следующие методы:
· графические методы представления временных рядов и их сопутствующих числовых характеристик;
· методы сведения к стационарным процессам: удаление тренда, модели скользящего среднего и авторегрессии;
· методы исследования внутренних связей между элементами временных рядов.
3.5. Графические методы анализа временных рядов
Зачем нужны графические методы. В выборочных исследованиях простейшие числовые характеристики описательной статистики (среднее, медиана, дисперсия, стандартное отклонение) обычно дают достаточно информативное представление о выборке. Графические методы представления и анализа выборок при этом играют лишь вспомогательную роль, позволяя лучше понять локализацию и концентрацию данных, их закон распределения.
Роль графических методов при анализе временных рядов совершенно иная. Дело в том, что табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику временного ряда можно сделать довольно много выводов. В дальнейшем они могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов.
При анализе графиков можно достаточно уверенно определить: