Тема спектральное представление сигналов ясогласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов! (стр. 8 из 9)
Рис. 4.4.3. Спектры П - импульсов. Рис. 4.4.4. Спектры П-импульсов
Функция вида sin(x)/x в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение: sinc(x) = sin(x)/x. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.
На рис. 4.4.4 приведены нормированные по площади спектры этих же импульсов. При сравнении спектров с рис. 4.4.2 можно наглядно видеть характер зависимости ширины спектров (по ширине главного максимума) от длительности импульсов. Чем шире сигнал, тем короче его спектр. Форма спектра П - импульсов остается практически постоянной и только "растягивается" по шкале частоты при уменьшении длительности импульсов.
Если прямоугольный импульс начинается в момент времени to, то имеем:
П(w)= U
exp(-jwt)dt = rU sinc(wr/2) exp[-jw(to-r/2)]. (4.4.6)  Рис. 4.4.5. Спектр задержанного П-импульса |
Это выражение может быть получено непосредственно из (4.4.5) с использованием теоремы смещения. Вид функций П(w) при r = 50 и to = 50 приведен на рис. 4.4.5.
Как видно на рисунке, спектр сигнала, несимметричного относительно t = 0, имеет две части: четную действительную A(w) = Re(П(w)), и нечетную мнимую B(w) = Im(П(w)). Модуль спектра R(w) = |П(w)| всегда четный, имеет только положительные значения и полностью повторяет |Пr(w)| четного импульса.
При изменении величины сдвига импульса модуль спектра остается без изменений, т.к. амплитуда частотных составляющих сигнала зависит только от его формы и не меняется от места расположения сигнала на координатной оси. Сдвиг сигнала определяет его фазовый спектр, пример которого для задержанного П-импульса приведен на рис. 4.4.6.
 Рис. 4.4.6. Фазовый спектр задержанного П-импульса (to = 50, r = 50) |
Заметим, что фактический фазовый спектр сигнала имеет непрерывный характер. Пилообразная форма кривых на рис. 4.4.6 объясняется периодическим сбросом действительных значений фазы сигнала на величину p.
Учитывая, что значения функций на отрицательных частотах спектра комплексно сопряжены с положительными частотами и определены однозначно (четные функции А(w) и R(w), нечетные функции B(w) и j(w)), в дальнейшем спектры сигналов будем приводить только для области положительных частот.
Для количественной характеристики соотношения формы сигналов и их спектров применяют понятие базы сигнала, под которой понимают произведение эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра. Конкретное значение базы сигнала зависит от способа определения этих эффективных параметров. Если для прямоугольного импульса эффективную ширину спектра принять по длительности центрального пика (4p/r), то значение базы сигнала будет равно 4p.
Длительности сигналов и ширина их спектров связаны принципом неопределенности, которым устанавливается, что значение их произведения (база сигналов) не может быть меньше 1. Этим устанавливается, что не может существовать коротких сигналов с узким спектром. Напротив, максимальное значение базы сигналов не ограничивается, и могут существовать сигналы с большой базой, имеющие как большую длительность, так и широкий спектр.
Если прямоугольные импульсы повторяются с периодом Т, то соответственно при Dw = 1/Т имеем:
Пr(kDw) = (rU/T) sinc(kDwr/2) exp(-jkDw(to-r/2)). (4.4.7)
Как и положено, спектр периодического сигнала дискретен по w, а при снятии нормировки спектра на длительность периода (умножением на Т) огибающая спектра повторяет выражение (4.4.6).
4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда:
s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) Û S(w) = Пr/2(w)Пr/2(w),
S(w) = P sinc2(wr/4).
Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4p/r. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения.
Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).
Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров (делением значений S(w) на площадь импульсов - значение S(0)) приведены на рис. 4.4.7.
Рис. 4.4.7. Форма и спектры импульсов.
Заметим, что обратная операция – аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет представить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.
5. Экспоненциальный импульс s(t) = U exp(-at), t ³ 0, a > 0. Функция exp(-at) только условно может быть названа импульсом, т.к. определена и при t Þ ¥, но при а > 0 она достаточно быстро затухает. Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одностороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:
S(w) = U
exp(-(a+jw)t) dt = U/(a+jw). (4.4.8)Функция S(w) бесконечна по частоте. Форма импульса, модуль и аргумент его спектра (фазовая характеристика в градусах) приведены на рис. 4.4.7.
Рис. 4.4.7. Форма и спектр экспоненциального импульса.
6. Функции Лапласа и Гаусса. Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем следующее преобразование:
U exp(-a|t|) Û 2aU/(a2+w2), a>0. (4.4.9)
Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представлена только действительной частью) приведены на рис. 4.4.8.
Рис. 4.4.8. Функция Лапласа Рис. 4.4.9. Функция Гаусса.
Преобразование для центрированной функции Гаусса:
U exp(-at2) Û U
exp(-w2/4a). (4.4.10)Спектр центрированной функции Гаусса - также функция Гаусса. Форма функции и ее вещественный спектр приведены на рис. 4.4.9. Если эффективную длительность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума, то база сигнала равна 4.
Сравнивая на рисунках 4.4.8 и 4.4.9 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом масштаба последних), нетрудно заметить, что чем больше гладкость сигнала (меньше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.
7. Гармонические колебания. Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функций. Гармонические, а в общем случае и все периодические функции в пространстве R(-¥, ¥), не обладают условием абсолютной интегрируемости. Спектральные плотности таких сигналов можно определить с использованием d-функций.
Допустим, имеем простейший периодический сигнал:
s(t) = A cos wot.
Разложим сигнал по формуле Эйлера и выполним преобразование Фурье, не обращая внимания на неинтегрируемость функции:
S(w) =
s(t) exp(-jwt) dt = (A/2) [exp(jwot) + exp(-jwot)] exp(-jwt) dt == (A/2)
exp(-j(w-wo)t) dt + (A/2) exp(j(w+wo)t) dt.Но интегралы в этом выражении, с учетом выражения (4.4.3), представляют собой d-функции в частотной области. Следовательно:
A cos wot Û (A/2) [d(w-wo)+d(w+wo)]. (4.4.11)
Аналогично для синусной функции:
A sin wot Û (A/2) [d(w-wo)-d(w+wo)].
При обратном преобразовании Фурье соответственно получаем:
(A/2) d(w-wo) Û (A/2) exp(-jwot),
(A/2) d(w+wo) Û (A/2) exp(jwot),
(A/2) [d(w-wo)+d(w+wo)] Û A cos wot.
(A/2) [d(w-wo)-d(w+wo)] Û A sin wot.
 Рис. 4.4.10. |
Таким образом, спектральные плотности действительных гармонических сигналов с частотой w0 и амплитудой A представляют собой пару дельта-функций с весом А/2, расположенных симметрично относительно w = 0 на частотах ±w0 (рис. 4.4.10, A=1).
При наличии во входном сигнале определенного сдвига фазы (wo+jo) выражения дополняется соответствующими множителями:
A cos(wo+jo)t Û (A/2) [exp(jjo)d(w-wo)+exp(-jjo)d(w+wo)].
8. Радиоимпульс. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники: