«Преобразование Хартли. Теория и приложения» (стр. 2 из 5)

Оцениваемый интеграл равен:

На данном примере №1 можно видеть симметрию чётной компоненты

и её относительно быстрое убывание, и симметрию относительно начала координат нечётной составляющей .

Можно заметить, что H(f) не является ни четной, ни нечетной функцией. Минимум функции H(f) имеет место при

, максимум при , и она обращается в нуль при . При функция убывает как .

Пример №2. Рассмотрим сигнал

, где - смещенная единичная прямоугольная функция, имеющая свое начало при t = 0. Стандартная единичная прямоугольная функция, которая часто необходима для стробирования сегментов колебаний, определяется как

Для данного примера имеем преобразование Хартли

,

2.2.Формулы связи.

При заданной функции

для получения преобразования Фурье можно сформировать сумму :

Таким образом, из

легко получить преобразование Фурье колебания V(t) путем формирования зеркального изображения вида и операций суммирования функций. Вещественная часть F(f) равна E(f), а мнимая часть противоположна по знаку функции :

Наглядно связь преобразования Хартли с преобразованием Фурье можно представить на примере (в качестве примера возьмём стробирующую функцию)

И обратно, из заданного преобразования Фурье F(f) можно получить

, заметив, что

,

т.е., исходя из F(f), функция

определяется как сумма вещественной части преобразования Фурье и ее мнимой части, взятой с обратным знаком.

Помня о том, что мнимая часть комплексной величины сама является вещественной, убеждаемся в том, что

представляет собой вещественную функцию, как и должно быть при условии, что исходное колебание вещественно. Если бы не было вещественной функцией (в этом случае не могло бы представлять собой напряжение электрического колебания), то , а тем более и также не были бы вещественными. В результате можно резюмировать:

Преобразование Фурье равно разности четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на i; напротив, преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.

2.3.Энергетический и фазовый спектры.

Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спектра:

Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструментом исследования, который необходим.

Энергетический спектр можно получить непосредственно из преобразования Хартли. Имеем

Рассмотрим энергетический спектр, полученный из преобразования Хартли на примере прямоугольного импульса.

Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей и их суммирования при данном значении

мы возводим в квадрат и суммируем два значения преобразования Хартли для частот + и — . При этом результат суммирования должен быть разделен на два, так как каждая из функций вида и , возведенная в квадрат, равна полному энергетическому спектру, тогда как вещественная и мнимая части содержат по половине этой величины.

В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразования Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хотя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосредственно вычислена из выражения

Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли

В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учитывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля амплитуды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах.

Имеем следующую формулу для определения фазы преобразования Фурье через преобразование Хартли:

Наглядно это можно представить на следующем примере.

Полезной альтернативой одновременному представлению вещественной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения

как функции с обозначением на этой траектории значений частоты как параметра. Тогда для любой данной частоты амплитуда | | определяет расстояние от начала координат до соответствующей точки параметрически заданной кривой, а фаза преобразования определяет угловую координату. Такая диаграмма для функции изображена на рис.1. Комплексная плоскость для данной диаграммы - это не плоскость из теории функции комплексной переменной, где независимая переменная оказывается комплексной величиной. Здесь независимая переменная вещественна, однако зависимая переменная является комплексной, и можно рассматривать ее вещественную и мнимую части как декартовы координаты.