Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 3 из 8)
(2.15)
Функция
определена для всех 
. 
.Квадратный трехчлен в числителе (2.15) положителен для g<7.
Поэтому
для всех m>0, если g<7.В случае g>7 квадратный трехчлен достигает минимума при
и этот минимум равен 
, т.е. отрицателен. Следовательно, при g>7 есть некоторый интервал, на котором 
. Поскольку 
, получается, что и 
на некотором интервале 
, образуя «провал» ниже оси m.Эскиз графика функции
- сплошная кривая на рис.2 для g<7.При m=0 он касается оси m и при
имеет асимптотику 
.Главным (и тревожным) фактом является поведение функции f(m) при m<0. Она отрицательна на интервале
, а при 
вообще не определена. Это означает, что в случае разбегающихся потоков 
в расчете распада разрыва получатся параметры потока, имеющего меньшую энтропию 
, т.е. будет нарушен сформули-рованный постулат. Налицо нарушение жесткого контроля энтропии. Поскольку опасный участок примыкает к m=0, такая ситуация реализуется при сколь угодно малых различиях параметров с индексами 1 и 2.В случае g>7 аналогичная ситуация наблюдается и для встречных потоков, если m попадает внутрь «провала» (см. рис.2).
§ 3. О схеме С и ударной волне разрежения
Полученному результату не приходится удивляться. Обратимся к уже упомянутому в начале § 2 примеру на стр.115-116 монографии [2]. В нем возникала ударная волна разрежения. Получим для нее соответствующую функцию f(m), аналогичную (2.10).
Ограничимся только ее частью, отвечающей m<0. Если вместо m временно принять за параметр величину
, то, с учетом описания в [2] на стр.116 и определения энтропии (2.8), можно сразу выписать формулу:(3.1)
Для ее производной
после несколько кропотливого упражнения получается красивый результат, приведенный на стр.116 в [2]:
(3.2)
Нам не хватает только формулы, связывающей m и q. Вся информация для этого содержится в формулах (2.2)-(2.5):
(3.3)
В результате получаем:
(3.4)
Поскольку
, для ее производной будем иметь:(3.5)
.Отсюда следуют те выводы, которые уже приведены в [2] на стр.116-117.
При малых значениях m получаем, что
(3.6)
, 
, где 
. Следовательно, в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии является малой величиной третьего порядка малости по сравнению со скачком давления. Для 
функция f(m) не определена. Поведение f(m) на интервале 
аналогично изображенному на рис.2. То тревожное обстоятельство, что f(m)<0 для 
, означает нарушение там упомянутого выше постулата, т.е. реализацию ударной волны разрежения, если скорость разбегания газов 
попадает на этот участок.В какой-то степени утешительным можно считать тот факт, что (в силу касания третьего порядка) величина
остается выше некоторого условного порога -d для значений m на протяженном отрезке. Длина его оценивается, исходя из формулы (3.6), как 
.Аналогичная оценка для примера, рассмотренного в § 2, с использованием формулы (2.12) получается несколько хуже. Поскольку при малых m имеем оценку:
, протяженность аналогичного отрезка(3.7)
.Полученные результаты свидетельствуют о том, что при m<0 схема С реализует разрыв, на котором уменьшается энтропия, т.е. по существу похожий на ударную волну разрежения.
§ 4. Нужен ли энтропийный контроль схемам типа Годунова?
Обратимся теперь к вопросу о том, как срабатывает энтропийный контроль для схемы Годунова. И сразу обнаруживаем, что в ней нет обсуждаемой проблемы, потому что «честно» отслеживаются границы области, занимаемой волной разрежения, в которой обеспечивается закон сохранения энтропии. Причем это обеспечивается не только в окончательном решении, но и в ходе всего итерационного процесса. Оборвать его можно в любой момент, который выберет исполнитель. Достигается это следующим образом. Как описано в монографии [2] на стр.114-115, получается очередное значение для давления
. Далее в случае, если в конфигурации распада разрыва присутствует волна разрежения, значения плотности R и остальных величин, описывающих эту волну, досчитываются, исходя из адиабаты Пуассона, что тождественно сохранению значения энтропии.Даже при расчете исходного «звукового» приближения, получив начальное приближение для давления
по формуле (13.26) на стр.113 в [2], не стоит «соблазняться» расчетом и других величин по аналогичным линеаризованным формулам, а следует воспользоваться только что упомянутым алгоритмом с учетом адиабаты Пуассона. «Копеечная» экономия от замены их ударной адиабатой Гюгонио (или линеаризованными формулами) может обернуться ударной волной разрежения, интенсивность которой и соответствующее уменьшение энтропии еще нужно оценивать. Да и нужно ли? А описанный «честный» досчет величин даже для грубого «звукового» приближения гарантирует неубывание энтропии.Изложенное, конечно же, не означает, что у метода Годунова вообще нет проблем. Ввиду первого порядка схемы к ним относятся прежде всего проблемы относительно низкого уровня точности, что особенно существенно при расчете гладких течений. Именно поэтому усилия многих авторов направлены на повышение порядка аппроксимации и другие его усовершенствования для повышения точности расчетов.
Одно из направлений деятельности такого рода связано с заменой кусочно-постоянной аппроксимации текущего распределения газодинамичес-ких параметров, используемой в исходном варианте метода Годунова. Идея – подать задаче о распаде разрыва более совершенные данные, благодаря которым ожидается повышение точности.
Работу такого рода алгоритмов можно условно разделить на этапы, выделив в отдельный подготовку таких данных, а в следующий этап – расчет распада разрыва.
Обсуждаемый в этой работе «жесткий энтропийный контроль» предлагается применить к подготовленным входным данным для расчета распада разрыва. Цель его – убедиться, что не «нахимичили» и с энтропией все в порядке. А уж алгоритм расчета распада разрыва не подведет, если применять так, как было описано выше.
Сказанным автор ни в какой мере не пытается принизить роль этапа подготовки совершенных данных. Напротив, по-видимому, именно это – наиболее перспективный путь развития алгоритмов такого типа.
Теперь самое подходящее время отметить, что в качестве заключительного этапа выполняется «пересчет» значений величин в ячейке сетки с учетом потоков через ее границы. Интуитивно ясно, что это эквивалентно «смешиванию» нескольких газов, каждый из которых имеет свою энтропию. Если все новые компоненты имеют энтропию, не меньшую, чем исходный газ, неубывание энтропии для результата «смешивания» гарантировано. Во всяком случае, ограничение шага по времени по условию Куранта направлено именно на это.