Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 6 из 8)
Для m=0 имеем
, 
.При m<0 область определения функции (7.6) ограничена тремя условиями:
, 
, 
Они будут выполнены, если:
(7.7)
, 
.Наша «энтропийная мечта» - достигнуть выполнения условий
(7.8)
при 
, 
при 
.Наибольший интерес представляет окрестность m=0: удастся ли переломить тенденцию
при m<0?Поэтому начнем с разложения (7.6) в окрестности m=0.
Следовательно, для (7.6) получаем:
,(7.9)
, 
Конечно, заманчиво было бы назначить
(7.10)
.Тогда А=0, в игру вступает следующий член
и получается:
, 
.Чтобы при m<0 получить f(m)>0 для малых m, должно быть В<0. Подставляя
в формулу (7.9), получим:
,что и требовалось: B<0, если
. Пока ограничимся этим случаем.Итак, для m<0 с учетом формулы (7.4) полагаем, согласно (7.10):
(7.11)
Перейдем к случаю
. Поскольку для придется иметь дело со всей бесконечной полуосью m, обращаемся к формуле (7.6). Ее можно записать в виде:(7.12)
,где h(m) – произведение трех знаменателей в (7.6),
g(m) – многочлен второго порядка от m..
Кропотливой выкладкой получаем:
Следовательно,
(7.13)
,
, 
, 
.Из (7.12) следует, что для получения
при необходимо и достаточно 
. В свою очередь для этого необходимо и достаточно выполнение трех требований:(7.14)
, 
, ( 
, если 
).Последнее связано с разрешением отрицательных действительных корней уравнения g(m)=0 , поскольку полуось m<0 нас сейчас не интересует.
Первые два из требований (7.14) порождают ограничения:
, 
.Для учета третьего ограничения воспользуемся достаточным условием
. Тогда из (7.13) получим 
. Следовательно, в соответствии с (7.4), должно быть:(7.15)
.Чтобы одновременно выполнить (7.11) и (7.15), предлагается такая формула назначения q1 и q2:
(7.16)
, 
.Отметим, что в формуле (7.7), поскольку
, получаем 
.В качестве иллюстрации рассмотрим пример. Пусть g=1.4.
Тогда
, 
Для
будем иметь 
а=1.92 , b=0 , c=2×1.082×0.08 ,
для всех . Это хорошо.При
получаем: 
, А=0, В=-0.84 .В<0, как и требовалось.
По формулам (7.13): а=0, b=-1.44 , с=-2×0.36×0.4
для всех m из интервала –5<m<0. Это хорошо.(7.17)
, 
.По формуле (7.12) получаем, что
для всех m из интервала 
, т.е. на всем интервале, где определена формула (2.6) для плотности. Следовательно, неубывание энтропии гарантировано.На рис.2 пунктиром изображен эскиз графика
при для рассмотренного примера. Благодаря параметрам q1 и q2 в СП-схеме ситуацию в буквальном смысле удалось переломить.Интересно сравнить описанное в примере со схемой С. Отличие только в том, что в ней задаются q1 = q2 =1.
Тогда для
будем иметь q = q1 + q2 =2. По формулам (7.13) а=5.6 , b=11.2 , c=8. Следовательно, для всех . Это хорошо.При
получаем q = q1 - q2 =0. По формулам (7.9) А=-2.4 , В=0.96 .Это плохо, так как
, т.е. 
при малых m .Эти факты обсуждались в §§ 2-3, и отображены на рис.2 сплошной кривой.
Подведем итоги.
В СП-схеме назначаем параметры по формулам (7.15) и (7.16):
(7.18)
, 
.