Г. П. Прокопов Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений (стр. 1 из 8)
Ордена Ленина
Институт прикладной математики
имени М.В.Келдыша
Российской академии наук
Г.П. Прокопов
Контроль энтропии в алгоритмах
и расчетах газодинамических течений
Москва, 2006 год
УДК 519.6
Контроль энтропии в алгоритмах и расчетах газодинамических течений
Прокопов Г.П.
Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН
На примере одной недавно опубликованной схемы проведено аналитическое исследование поведения энтропии при численном интегрировании уравнений газовой динамики. Оно подтвердило опасение о возможности реализации в ходе расчета разрывов, которые аналогичны ударным волнам разрежения. Следовательно, может происходить нарушение постулата о неубывании энтропии. Предлагаются простые алгоритмы контроля энтропии при расчетах газодинамических течений и по другим известным численным методам.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 05-01-00097).
Control of entropy in algorithms and calculations of gas-dynamics flows.
Prokopov G.P.
Preprint of Keldysh Institute of applied mathematics, RAS
Based on one recently published approach, an analytical investigation of entropy behaviour in process of numerical integration of gas-dynamics equations is implemented. It confirms an existence of discontinuous solutions that similar to rarefaction shock-wave in numerical calculations. So, the postulate of non-increasing entropy is disturbed. Some simple methods to control of entropy in gas-dynamic flows and other known numerical methods are suggested.
This work is support by RFFI (grant N 05-01 -00097)
Содержание
стр.
Введение ………………………………………………………….. 3
§ 1. Схема С для расчета газодинамических течений …………. 4
§ 2. Энтропийное исследование схемы С ….. ………………….. 7
§ 3. О схеме С и ударной волне разрежения……………………. 10
§ 4. Нужен ли энтропийный контроль схемам типа Годунова? . 12
§ 5. Как быть с другими схемами?…………………….………… 13
§ 6. Снова о схеме C и ее экономичности ...……………………. 15
§ 7. Предложение по улучшению схемы С ………….…………. 19
§ 8. О проблеме сложных уравнений состояния ……………….. 23
Заключение ………………………………………………………. 26
Литература ………………………………………………………... 28
Введение
Настоящая работа является непосредственным продолжением краткой публикации автора [1]. Одной из ее целей было напоминание о том важном обстоятельстве, что в широко известном методе Годунова (см., напр., монографию [2]) успех достигается благодаря использованию дополнительного закона сохранения энтропии на гладких решениях и постулату о ее неубывании на разрывах. В связи с тем, что имеется много публикаций различных авторов, заявляющих о методах «типа Годунова», интересен вопрос, с должным ли вниманием они относятся к упомянутому обстоятельству. Естественно, что это касается и не только таких методов, но и вообще алгоритмов для расчета газодинамических течений.
Проясняя для себя этот вопрос, автор обратился к изучению численных методов с такой точки зрения. Весьма полезной оказалась монография [3], в которой можно найти как содержательную информацию о работах многих авторов, так и ссылки, по которым можно разыскивать их публикации.
В первую очередь автора интересовали методы расчета газодинамических течений (как нестационарных, так и стационарных), обеспечивающие выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а потому основанные на использовании дивергентной формы уравнений газовой динамики. При ознакомлении с таким кругом работ удалось обнаружить слишком мало информации, касающейся поведения энтропии. Исключение составляет разве что раздел 2.10 в монографии [3], что и будет отмечено в §5.
Попытавшись выполнить такие исследования аналитически, автор потерпел полную неудачу из-за весьма сложного характера известных и широко используемых алгоритмов.
И вдруг в этом «темном царстве» блеснул луч надежды. На семинаре им.К.И.Бабенко в ИПМ им.М.В.Келдыша 26 октября 2006 г. был сделан доклад по результатам работы [4]. Эта очень небольшая по объему публикация производит впечатление на специалиста, знающего в деталях содержание вопроса, чрезвычайной простотой предлагаемого алгоритма для приближенного решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. А она является главным элементом при реализации численного метода С.К.Годунова, а также его усовершенствований и модификаций, предлагаемых различными авторами.
Правда, следует отметить, что представленный в [4] разностный метод для уравнений газодинамики, для краткости именуемый далее схемой С (название взято из [4]), сразу же вызвал определенные сомнения. Именно в силу упомянутой его простоты по сравнению с другими методиками удалось провести аналитические исследования по интересующему вопросу о поведении энтропии, которые, к сожалению, подтвердили справедливость возникших опасений. Они будут представлены в настоящей работе.
Эти результаты позволяют автору выступить с предложением об «энтропийном контроле», которым следует сопровождать расчеты газодинамических течений, выполняемых по методам «типа Годунова», схеме С и другим аналогичным методам.
В § 5 автор рассматривает возможность использовать «энтропийный контроль» и при расчетах по другим методикам. Например, по представленным в монографии [3] сеточно-характеристическим схемам типа КИР (Куранта-Изаксона-Рисса), Роу, TVD-схемам и т.п.
Основная часть работы для простоты изложена для идеального газа. Однако идея энтропийного контроля тем более необходима и может быть реализована и для сложных уравнений состояния. Но есть и проблемы, связанные с их заданием. Этим вопросам посвящен § 8.
§ 1. Схема С для расчета газодинамических течений.
В настоящем параграфе будет практически полностью представлено описание разностной схемы из работы [4]. Сделать это целесообразно, во-первых, потому, что все приводимые формулы потребуются для дальнейшего изложения. Во-вторых, сочтено необходимым изменить некоторые обозначения, с тем, чтобы обеспечить единообразие с монографией [2], известной широкому кругу читателей, и которая тоже будет использоваться в дальнейшем изложении. Наконец, в-третьих, к счастью, нужное нам описание сделано в [4] с удивительной краткостью, занимая всего одну печатную страницу.
Описание схемы С рассматривается на примере хорошо известных нестационарных уравнений одномерной газовой динамики в дивергентной форме:
(1.1)
,где U, F – векторы для законов сохранения массы, импульса и энергии:
(1.2)
, 
Здесь r - плотность газа, u – скорость, р – давление,
(1.3)
- полная внутренняя энергия, e - внутренняя энергия единицы массы, определяемая уравнением состояния газа.Пока, до § 8, ограничимся простейшим уравнением состояния идеального газа с показателем адиабаты g:
(1.4)
.Разностная схема для (1.1) записывается в виде:
(1.5)
Здесь, как было принято в монографии [2],
- номер ячейки сетки по оси х, ограниченной узлами с номерами j-1 и j. Формула (1.5) описывает «пересчет» величин на одном шаге по времени – переход от величин с «нижнего» слоя по времени t к «верхнему».В методе С.К.Годунова потоки на границах ячеек Fj вычисляются посредством численного решения задач Римана о распаде разрыва с параметрами газа в соседних ячейках сетки. Этот расчет делается либо приближенно (например, в виде «звукового» приближения), либо (если необходимо) итерационным методом до достижения результата с предписываемой точностью.
Основная идея предложенной в [4] схемы С также состоит в вычислении потоков на границах ячейки. Задача Римана решается приближенно на основе соотношений на разрывах, аналогичных описанным в [2] на стр.103:
(1.6)
Здесь D – скорость распространения разрыва, а – массовая скорость (вместо обозначений w,m соответственно в [4]).
Квадратными скобками [ ] обозначается разность значений величин, заключенных в скобки, по обе стороны от разрыва.
В отличие от метода Годунова, при приближенном решении задачи Римана рассматривается упрощенная схема течения с распадом на левую волну, контактный разрыв и правую волну. Она изображена на рис.1.
Обозначим индексами: 1 – параметры в левой ячейке сетки, 2 – в правой, 3 – между левой волной и контактным разрывом, 4 – между контакт-ным разрывом и правой волной, как показано на схеме течения (см. рис.1).
Рис. 1.
Рис. 2.
Расчетные формулы имеют вид:
, 
, 
(1.7)
