9. случайные процессы и сигналы (стр. 4 из 9)

Эргодические процессы. Строго корректно характеристики случайных процессов оцениваются путем усреднения по ансамблю реализаций в определенные моменты времени (по сечениям процессов). Но большинство стационарных случайных процессов обладает эргодическим свойством. Сущность его заключается в том, что по одной достаточно длинной реализации процесса можно судить обо всех его статистических свойствах так же, как по любому количеству реализаций. Другими словами, закон распределения случайных величин в таком процессе может быть одним и тем же как по сечению для ансамбля реализаций, так и по координате развития. Такие процессы получили название эргодических (ergodic). Для эргодических процессов имеет место:

m_X(t) = M{x(t)} =

x(t) dt, (9.1.16)

D_Х(t) = M{x(t) - m_Х(t)]²} =

(x(t) - m_Х(t))² dt, (9.1.17)

R_X(t) = M{x(t)x(t+t)} =

x(t)x(t+t) dt. (9.1.18)

Эргодичность является очень важным свойством случайных стационарных, и только стационарных процессов. Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия является мощностью его флюктуационной составляющей. Так как определение функций производится по ограниченным статистическим данным одной реализации и является только определенным приближением к соответствующим фактическим функциям процессов, целесообразно называть эти функции статистическими.

Свойства эргодичности могут проявляться только по отношению к двум первым моментам случайного процесса, что вполне достаточно для использования соответствующих методик исследования процессов. Практическая проверка эргодичности процесса обычно производится проверкой выполнения условия Слуцкого:

K(t) dt = 0. (9.1.19)

Если ковариационная функция процесса стремится к нулю при возрастании значения аргумента (t), то процесс относится к числу эргодических, по крайней мере, относительно моментов первого и второго порядков.

Пример. Случайная функция задана выражением Z(t)=X(t)+Y, где X(t) - стационарная эргодичная функция, Y- случайная величина, некоррелированная с X(t). Эргодична ли функция Z(t)?

m_z(t) = m_z(x)+m_y, K_z(t) = K_x(t)+D_y.

Функция Z(t) стационарна, но не эргодична, так как при t Þ ¥ имеет место K_z(t) Þ D_y.

По формулам (9.1.16-9.1.18) можно вычислить моменты и для детерминированных процессов. Например, для периодической функции f(t)=a sin wt автоковариационная функция описывается выражением:

K(t) = (a²/2) cos wt.

Соответственно, для произвольной периодической функции, представленной рядом Фурье (разложенной по рядам Фурье):

K(t) = (1/2)

a_n² cos w_nt.

Таким образом, автоковариационная функция периодической функции также является периодической функцией от аргумента t - величины временного сдвига.

9.2. Функции спектральной плотности [2,25,26].

Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением:

X(t) = X×j(t), (9.2.1)

где Х - обычная случайная величина, j(t) - произвольная неслучайная функция. Математическое ожидание простейшей случайной функции:

m_x(t) = M{Xj(t)}= j(t)×M{X}= j(t)×m_x, (9.2.2)

где m_x - математическое ожидание случайной величины Х. При m_x = 0 математическое ожидание m_x(t) также равно нулю для всех t и функция (9.2.1) в этом случае называется элементарной случайной функцией. Ковариационная функция элементарной случайной функции определится выражением:

K_x(t₁,t₂) = M{X(t₁)X(t₂)}= j(t₁)j(t₂)×M{X²}= j(t₁)j(t₂)×D_x. (9.2.3)

где D_x - дисперсия случайной величины Х.

Центрированную случайную функцию ⁰X(t) можно представить суммой взаимно некоррелированных элементарных случайных функций:

⁰X(t) =

X_i×j_i(t), (9.2.4)

Из взаимной некоррелированности элементарных случайных функций следует взаимная некоррелированность величин X_i. Математическое ожидание и ковариационная функция случайной функции ⁰X(t):

M{⁰X(t)}= M{

X_i×j_i(t)}= 0.

K_x(t₁,t₂) = M{⁰X(t₁) ⁰X(t₂)}= M{

X_i×j_i(t₁)X_j×j_j(t₂)}= j_i(t₁)j_j(t₂)M{X_iX_j}.

В силу взаимной некоррелированности парных значений X_iX_j имеет место M{X_iX_j}= 0 при i ¹ j, и все члены суммы в последнем выражении равны нулю, за исключением значений при i = j, для которых M{X_iX_j}= M{X_i²}= D_i. Отсюда:

K_x(t₁,t₂) =

j_i(t₁)j_i(t₂)D_i. (9.2.5)

Произвольная нецентрированная случайная функция соответственно может быть представлена в виде

X(t) = m_x(t) + ⁰X(t) = m_x(t) +

X_i×j_i(t), (9.2.6)

с математическим ожиданием m_x(t) и с той же самой ковариационной функцией (9.2.5) в силу свойств ковариационных функций, где ⁰X(t) - флюктуационная составляющая случайной функции X(t). Выражение (9.2.6) и является каноническим разложением функции X(t). Случайные величины X_i называются коэффициентами разложения, функции j_i - координатными функциями разложения. При t₁ = t₂ из (9.2.5) получаем функцию дисперсии случайной функции X(t):

D_x(t) =

[j_i(t)]²×D_i. (9.2.7)

Таким образом, зная каноническое разложение (9.2.6) функции X(t), можно сразу определить каноническое разложение (9.2.5) ее ковариационной функции, и наоборот. Канонические разложения удобны для выполнения различных операций над случайными функциями. Это объясняется тем, что в разложении зависимость функции от аргумента t выражается через неслучайные функции j_i(t), а соответственно операции над функцией X(t) сводятся к соответствующим операциям математического анализа над координатными функциями j_i(t).

В качестве координатных функций разложения, как и при анализе детерминированных сигналов, обычно используются гармонические синус-косинусные функции, а в общем случае комплексные экспоненциальные функции exp(jwt). С учетом последнего предварительно рассмотрим особенности представления случайных функций в комплексной форме.

Комплексные случайные функции. В общем случае случайный процесс может описываться комплексной случайной функцией:

Z(t) = X(t) + jY(t), (9.2.8)

где X(t) и Y(t) - действительные случайные функции. Соответственно, математическое ожидание комплексной функции:

m_z(t) = m_x(t)+j×m_y(t). (9.2.9)

Заметим, что комплексное представление случайных функций не более чем удобная для анализа математическая форма их отображения, которая, с использованием выражений Эйлера, всегда может быть переведена в форму вещественных функций. Функции дисперсии, корреляции и ковариации должны представлять собой однозначные и неслучайные вещественные характеристики случайных процессов и функций, независимо от формы их математического представления. Это условие будет выполняться при использовании в выражениях моментов второго порядка операций умножения комплексных функций с комплексно сопряженными функциями. Так, выражение для вычисления корреляционной функции имеет следующий вид:

R_z(t₁,t₂) = M{Z(t₁)×Z*(t₂)}= M{[X(t₁)+jY(t₁)][X(t₂)-jY(t₂)]}=

= M{X(t₁)X(t₂)+Y(t₁)Y(t₂)+j×[Y(t₁)X(t₂)-X(t₁)Y(t₂)]} =

= R_x(t₁,t₂) + R_y(t₁,t₂) + j×[R_yx(t₁,t₂) - R_xy(t₁,t₂)]. (9.2.10)

Если действительные и мнимые части комплексной функции некоррелированы, то R_yx = R_xy = 0 и последний член выражения (9.2.10) также равен нулю.

Аналогичное выражение имеет место и для ковариационной функции. При t₁ = t₂ = t для функции дисперсии комплексной случайной величины имеем:

D_z(t) = M{|Z(t)-m_z(t)|²} = D_x(t) + D_y(t), (9.2.11)

Все приведенные выражения в общем случае могут использоваться для любых комплексных случайных функций с любым физическим смыслом переменной t.

Финитное преобразование Фурье случайных функций. По аналогии с функциями детерминированных сигналов, отдельно взятая на интервале 0-Т реализация x_k(t) стационарного случайного процесса ⁰X(t) может быть представлена в виде ряда Фурье: