9. случайные процессы и сигналы (стр. 8 из 9)
При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+y(t) равны:
mz(t) = mx(t) + y(t), Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2). (9.3.17)
При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной случайной величиной Y математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+Y:
mz(t) = mx(t) + my, Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2) + Dy. (9.3.18)
Произведение случайной и неслучайной функций X(t) и f(t). Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала:
mz(t) = M{Z(t)}= M{f(t)×X(t)}= f(t)×M{X(t)}= f(t)×mx(t). (9.3.19)
Rz(t1,t2)=M{f(t1)X(t1) f(t2)X(t2)}= f(t1)f(t2)M{X(t1)X(t2)}=
= f(t1)f(t2)×Rx(t1,t2). (9.3.20)
Если f(t) = const = C и Z(t) = C×X(t), то соответственно имеем:
mz(t) = С×mx(t), Rz(t1,t2) = С2×Rx(t1,t2). (9.3.21)
Производная от случайной функции Z(t) = dX(t)/dt. Если функция X(t) является непрерывной и дифференцируемой, то математическое ожидание производной:
mz(t) = M{Z(t)} = M{dX(t)/dt} = d(M{X(t)})/dt = dmx(t)/dt, (9.3.22)
т.е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:
Rz(t1,t2) = M{(dX(t1)/dt1)(dX(t2)/dt2)}=
M{X(t1)X(t2)}= Rx(t1,t2), (9.3.23)т.е. корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от корреляционной функции исходной случайной функции.
Интеграл от случайной функции Z(t) =
X(v)dv.mz(t) = M{Z(t)} = M{
X(v)dv} = M{X(v)}dv = mx(v)dv, (9.3.24)т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:
Rz(t1,t2) = M{
X(t1)dt1 X(t2)dt2} = M{ X(t1)X(t2)dt1dt2} ==
M{X(t1)X(t2)}dt1dt2 = Rx(t1,t2)dt1dt2, (9.3.25)т.е. корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от корреляционной функции исходной случайной функции.
Преобразования стационарных случайных функций выполняются по вышеприведенным формулам и дают следующие результаты (вместо корреляционных функций приводятся ковариационные функции, которые обычно используются на практике).
Математическое ожидание выходного сигнала Z(t) входной стационарной случайной функции X(t) по (9.3.2):
mz = h(t) * mx = mx
h(t) dt, (9.3.26)Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на площадь (или сумму коэффициентов) импульсного отклика системы, т.е. на коэффициент усиления системой постоянной составляющей. Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффициентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.
Сумма двух стационарных случайных функций X(t) и Y(t) дает стационарную случайную функцию Z(t), при этом:
mz = mx + my, Dz = Dx + Dy + 2Kxy(0). (9.3.27)
Kz(t1,t2) = Kz(t) = Kx(t) + Ky(t) + Kxy(t) + Kyx(t). (9.3.28)
Сумма стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) нестационарна по математическому ожиданию:
mz(t) = mx + y(t), Kz(t) = Kx(t). (9.3.29)
Произведение стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) - нестационарная случайная функция, так как:
mz(t) = y(t)×mx, Dz(t) = y2(t)×Dx. (9.3.30)
Kz(t,t) = y(t)y(t+t)Kx(t). (9.3.31)
Производная от стационарной случайной функции - стационарная случайная функция с математическим ожиданием mz = 0 и ковариационными функциями:
Kz(t1,t2) =
Kx(t1-t2) = - 
Kx(t) = Kz(t). (9.3.32)Kzx(t) = d(Kx(t))/dt, Kxz(t) = -d(Kx(t))/dt. (9.3.33)
Из выражения (9.3.32) следует также, что для дифференцируемости X(t) необходимо, чтобы ее ковариационная функция была дважды дифференцируемой по t.
Интеграл от стационарной случайной функции - нестационарная случайная функция с математическим ожиданием mz(t) =
mx(t)dt и функцией ковариации:Kz(t1,t2) =
Kx(u1-u2) du1du2. (9.3.34)9.4. Модели случайных сигналов и помех [2, 28].
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.
 Рис. 9.4.1. Телеграфный сигнал. |
Телеграфный сигнал - это случайный процесс xk(t), представляющий собой последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями и детерминированными значениями амплитуд c и -с, причем перемены знака внутри любого интервала (t, t+t) происходят с интенсивностью a в случайные моменты времени, и не зависят от процессов в смежных интервалах времени. Если считать случайной величиной телеграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала t, то распределение вероятностей значений n будет описываться законом Пуассона:
P(n) = (a|t|)2 exp(-a|t|)/n! (9.4.1)
 Рис. 9.4.2. Функция корреляции сигнала. |
При вычислении корреляционной функции телеграфного сигнала каждое отдельное произведение xk(t)xk(t+t) равно либо с2, либо -с2 в зависимости от совпадения или несовпадения знаков xk(t) и xk(t+t), причем вероятность с2 равна сумме вероятностей Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вероятность -с2 определяется соответственно суммой вероятностей Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .
Следовательно:
Rx(t)= c2
(-1)nP(n)= c2 exp(-a|t|) 
(-1)n(a|t)n/n! = c2 exp(-2a|t|). (9.4.2)Параметр a полностью определяет ковариационные и спектральные свойства телеграфного сигнала. При a Þ 0 характеристики сигнала приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при a Þ ¥ - к характеристикам белого шума.
Интервал ковариации сигнала:
Tk = 2
(Rx(t)/c2) dt = 2/a. (9.4.3)  Рис. 9.4.3. Спектр сигнала. |
Отсюда следует, что чем больше a, тем меньше время ковариации процесса. При a Þ 0 Tk Þ ¥ и процесс вырождается в детерминированный (стремится к постоянной составляющей). При a Þ ¥ Tk Þ 0 и процесс вырождается в белый шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних временных точках.
Двусторонняя спектральная плотность сигнала:
Sx(w)=
Rx(t) exp(-jwt) dt= ac2/(a2+w2). (9.4.4)Односторонняя спектральная плотность:
Gx(w)= 2ac2/(a2+w2). (9.4.5)
Ширина спектра телеграфного сигнала:
Bk =
Gx(w) dw/Gx(0) º Sx(w) dw/Sx(0) = ap. (9.4.6)