9. случайные процессы и сигналы (стр. 9 из 9)
Отсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал ковариации процесса.
Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляционная функция описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение Wq(f) = s2, равное дисперсии значений q(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра). По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко реализуемые оптимальные методы фильтрации. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов Bs много меньше эффективной ширины спектра шумов Bq
Bs/Bq << 1,
и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следовательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения.
Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:
Wq(f)=s2, 0£ f £B; Wq(f)=0, f > B, (9.4.7)
при этом корреляционная функция шума определяется выражением:
Rq(t)= s2 B×sin(2pBt)/2pBt. (9.4.8)
Эффективный интервал корреляции:
Tk = 2
|Rq(t)|dt /Rq(0). (9.4.9)  Рис. 9.4.4. Функции корреляции белого шума в частотном интервале 0-В. |
Реальный интервал корреляции целесообразно определять по ширине главного максимума функции Rq(t) (значения t при первых пересечениях нулевой линии), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом Tk = 1/В и BTk = 1 > 1/2, т.е. соотношение неопределенности выполняется.
Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 9.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная корреляция между значениями, и, чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус корреляции. По существу, ограничение шумов определенным частотным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, корреляционная функция импульсного отклика фильтра свертывается с дельта – функцией белого шума.
Модель белого шума q(t) можно формировать как случайную по времени (аргументу) последовательность дельта - импульсов d(ti) со случайными амплитудными значениями ai:
q(t) = Si ai d(t-ti), (9.4.10)
которая удовлетворяет условиям статистической однородности: постоянное среднее число импульсов в единицу времени и статистическая независимость появления каждого импульса от предыдущих. Такой поток импульсов, который называют пуассоновским, является некоррелированным и имеет равномерный спектр плотности мощности:
Wq(w) = c2 = Nsa2,
где N - число импульсов на интервале Т реализации случайного процесса, sa2 -дисперсия амплитуд импульсов.
Спектральное описание белого шума оказывается удобным при учете влияния на него амплитудно-частотных характеристик различных устройств. Если на входе фильтра с импульсным откликом h(t) действует белый шум q(t), то сигнал на выходе фильтра:
g(t) = h(t) ③ q(t) = h(t) ③ Si ai d(t-ti) =Si ai h(t-ti), (9.4.11)
т.е. выходной сигнал будет представлять собой последовательность сигналов импульсной реакции фильтра h(t) с амплитудой ai, при этом автокорреляционная функция и спектр мощности выходного потока также становятся подобными ФАК и спектру мощности импульсной реакции фильтра, и в первом приближении определяются выражениями:
Rg(t)
N sa2 Rh(t) = c2 Rh(t), (9.4.12)Wg(w)
N sa2 |H(w)|2 = c2 |H(w)|2. (9.4.13)Этот результат известен как теорема Кэмпбелла.
Гауссовый шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию корреляции:
Rx(t) = a exp(-2ps2t2). (9.4.14)
Спектральная плотность шумов:
Sx(f) = (a/s
) exp(-f2/2s2), - ¥ < f < ¥. (9.4.15)Эффективные шумовые ширина спектра и время ковариации:
Bk = s
/2 = 1.25s, Tk = 1/s 
= 0.4/s. (9.4.16)Соотношение неопределенности превращается в равенство: BkTk = 1/2.
Гауссовые случайные процессы преобладают в практических задачах. Случайный процесс x(t) называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени tn случайные величины x(tn) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссового процесса определяется выражением:
p(x) = (sx
)-1 exp(-(x-mx)2/2s2). (9.4.17)Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:
mx =
x p(x) dx, mx » (1/T) 
x(t) dt.При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от переменной t, и равна:
sx2 =
x2 p(x) dx.Оценка дисперсии при больших значениях Т:
sx2 » (1/T)
x2(t) dt = 
Sx(f) df = Gx(f) df. (9.4.18)Следовательно, плотность вероятностей гауссового процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.
литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.- 448 с.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.
26. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учебное пособие для вузов./ А.В.Крайников и др. - М.: Высшая школа, 1986. - 312 с.
26. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учебное пособие для вузов./ А.В.Крайников и др. - М.: Высшая школа, 1986. - 312 с.
27. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1971.- 328 с.
28. Игнатов В.А. Теория информации и передачи сигналов. - М.: Советское радио, 1979.
42. Ю.М. Яневич. Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов: Курс лекций. / СПбУ.
А.В.Давыдов.
20.02.06.
Cайт автора ¨ Лекции ¨ Практикум
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: davpro@yandex.ru.
Copyright ©2008 Davydov А.V.