Н. Г. Чурбанова Москва 2011 г (стр. 3 из 6)
Представим разностную аппроксимацию производной по времени в виде:
Опираясь на это представление, можно заменить уравнение неразрывности на гиперболическое уравнение
(2.3)При шаге пространственного разбиения порядка h минимальный масштаб времени, меньше которого нет смысла проводить дальнейшую детализацию, имеет порядок
(2.5)Здесь использовался тот факт, что скорость звука во флюиде c значительно превышает скорость фильтрации |u|.
Таким образом, дополнительный член со второй производной в уравнении (2.3) по порядку величины значительно меньше, чем
:
(2.6)где L – характерный размер задачи.
Тогда разностное уравнение для (2.3) примет вид:
Обратим внимание, что в случае, когда справедливо равенство
схема перейдёт в схему Дюффорта-Франкела [9], обладающую абсолютной устойчивостью. К сожалению, точность расчётов по схеме Дюффорта-Франкела в многих случаях является неудовлетворительной. Однако в рассматриваемом случае параметр
специально выбирается из соображений, чтобы дополнительный член со второй производной по времени в уравнении вносил минимальные изменения в решение уравнения. С учётом (2.5) из (2.6) следует условие устойчивости для трёхслойной схемы решения уравнения:
Таким образом, с учётом минимальных масштабов по пространству и времени исходная модель превратилась в модель:
(2.7)
которая позволяет использовать явные схемы с центрально-разностной аппроксимацией конвективных членов с более мягким условием устойчивости.
2. Математическая постановка двухфазной задачи.
2.1 Система уравнений
Опираясь на результаты параграфов 1.2 и 2.1, выпишем систему уравнений для модели двухфазной фильтрации:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)(индекс α обозначает фазу: w – вода, n - NAPL от английского Non-Aqueous Phase Liquid)
Где m – это пористость, Sα - насыщенность фазы, kα(Sw) – относительная фазовая проницаемость, g – ускорение свободного падения, qα - источник жидкости, pc(Sw) – капиллярное давление,Se - это эффективная насыщенность, Swr - остаточная насыщенность водной фазы, Pd - пороговое давление, λ – индикатор пористости для данной среды
Относительные фазовые проницаемости определяются в соответствии с моделью Брукса – Кори. Их зависимости от насыщенности имеют вид (2.8)
 |  |
| Рис. 2. Капиллярное давление по Бруксу-Кори с параметрами λ и Pd | Рис. 3. Относительные проницаемости по Бруксу-Кори |
2.2 Разрыв среды
При рассмотрении процессов в неоднородной среде (то есть, среде, состоящей из блоков с различными свойствами – абсолютной проницаемостью, пористостью и т. д.) возникает проблема разрыва некоторых параметров на границе раздела фаз. В этом случае при расчетах необходимо выполнение двух условий на интерфейсе: непрерывность потока через границу раздела и непрерывность капиллярного давления. Из последнего условия вытекает разрыв насыщенности на интерфейсе (см. рис.4):
Рис. 4. Непрерывность капиллярного давления и разрыв насыщенности на интерфейсе.
.
§3. Алгоритм решения.
1. Алгоритм решения в случае распространения загрязнения в однородной среде(двумерная область).
Выпишем разностное уравнение, получаемое для трехслойной явной схемы, для уравнения (2.1), в двумерном случае:
(3.1)А также разностное уравнение для нахождения компонент скорости фильтрации:
(3.2) 
(3.3)Общий вид расчетной области представлен на рис.1
Рис.5
Тогда алгоритм расчетов будет состоять из следующих этапов по каждой фазе:
1. Вычисление по формулам (3.2) и (3.3) компонент скорости фильтрации.
2. Вычисление
из уравнения (3.1) на новом слое по времени.3. Вычисление насыщенности DNAPL
и давления водной фазы 
на новом слое по времени в каждом узле расчётной сетки из следующей системы уравнений: 
(3.4)Система (3.4) получена умножением уравнений состояний (2.3) с обеих сторон на
и применением формулы для зависимости давлений фаз и капиллярного давления (2.5) и может быть решена методом Ньютона.4. Вычисление
, 
и 
из (2.4), (2.5) и уравнения состояния (2.3) соответственно.2.Метод Ньютона
Пусть требуется решить систему уравнений
(4.1)где
— заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественные функции n вещественных переменных 
Обозначив 
, 
, 
данную систему (2.1) можно записать одним уравнением
(4.2)Пусть (
) — некоторая последовательность невырожденных вещественных n x n-матриц. Тогда, очевидно, последовательность задач 
, k = 0,1,2,...имеет те же решения, что и исходное уравнение (2.1а), и для приближенного нахождения этих решений можно формально записать итерационный процесс
, k = 0,1,2,... (4.3)имеющий вид метода простых итераций (4.2.1b) при
. В случае 
- это действительно МПИ с линейной сходимостью последовательности ( 
) Если же различны при разных k, то формула (4.3) определяет большое семейство итерационных методов с матричными параметрами . Рассмотрим некоторые из методов этого семейства.Положим
, где 
