Тема 3: весовые функции (стр. 2 из 3)

Рис. 3.1.3. Свертывающие (частотные) весовые функции.

Последствия для практики. При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, т.к. приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к фильтру низких частот.

Попытаемся реализовать передаточную функцию фильтра следующего вида:

H(f) = 1, при -0.2 £ f £ 0.2,

= 0, при -0.2 > f > 0.2,

в главном частотном диапазоне от -0.5 до 0.5. Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:

a_n = 4

cos(2pfn) df = 2 sin(0.4pn)/(pn).

Передаточная функция:

H(f) = 0.4 + 2

sin(0.4pn) cos(2pfn)/(pn). (3.1.7)

Результат усечения ряда Фурье (3.1.7) до N = 7 приведен на рис. 3.1.4.

Рис. 3.1.4. Передаточные функции ФНЧ.

Как видно на рисунке, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. Однако при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования исходя из чисто практических соображений реализации.

Явление Гиббса имеет место при усечении любых числовых массивов. При обработке геофизических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. Вырезаются из профилей и площадей участки съемки с аномальными данными для их более детальной обработки и интерпретации. При анализе усекаются корреляционные функции, и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощности, и пр. Во всех этих случаях мы можем столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров). В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, т.к. они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.

На рис. 3.1.5 показан другой пример искажений сигнала при усечении. Исходный аналоговый сигнал был вырезан из массива данных на интервале k = {0..60}, дискретизирован и переведен в цифровой форме в спектральную область для обработки. Дискретизация сигнала вызвала периодизацию его спектра, а дискретизация спектра вызвала периодизацию его динамического представления. Но на точках k=0 и k=60 в периодическом повторении исходного сигнала при усечении образовался скачок функции с бесконечным частотным спектром, а главный диапазон спектра дискретизированного сигнала ограничен интервалом его дискретизации (w_N=1/2Dt). Следовательно, спектр сигнала является искаженным за счет наложения спектров боковых периодов, а при восстановлении аналогового сигнала по спектру главного диапазона он восстанавливается из усеченного спектра. Это приводит к появлению явления Гиббса на обоих концах вырезанного сигнала (за счет периодизации сигнала), что наглядно видно на рис. 3.1.5.

Рис. 3.1.5.

Практически это означает, что при частотной обработке вырезанного сигнала будет обрабатываться не спектр исходного сигнала, а спектр, которому соответствует сигнал, восстанавливаемый по данному спектру с наложенным явлением Гиббса.

3.2. Весовые функции /16/.

Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области (и любой другой области аргументов) является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала. Что последнее возможно, показывает, например, даже такая простая модификация прямоугольной функции, как уменьшение в два раза значений ее крайних членов. Фурье-образ модифицированной П-функции уже рассматривался нами в составе сглаживающих фильтров МНК 1-го порядка и отличается от обычной П-функции с тем же размером окна выходом в ноль на частоте Найквиста и несколько меньшей амплитудой осцилляций при небольшом расширении главного максимума. В силу тождественности всех свойств прямого и обратного преобразований Фурье все ниже рассматриваемое действительно и для нейтрализации явлений Гиббса во временной области при усечениях спектров.

Нейтрализация явления Гиббса в частотной области. Рассмотрение продолжим с формулы (3.1.2) при усечении произвольного оператора фильтра h(n) прямоугольным селектирующим окном П_N(n). Период осцилляций суммы усеченного ряда Фурье (3.1.2) равен периоду последнего сохраненного либо первого отброшенного члена ряда. С учетом этого фактора осцилляции частотной характеристики могут быть существенно сглажены путем усреднения по длине периода осцилляций в единицах частоты, т.е. при нормированной свертке с П_r(w) - импульсом, длина которого равна периоду осцилляций r = 2p/(N+1). Эта свертка отобразится во временной области умножением коэффициентов фильтра h(n) на множители, которые являются коэффициентами преобразования Фурье частотной П-образной сглаживающей функции П_r(w):

H'_N(w) = H_N(w) _* П_r(w) - h_ns_N(n) = h(n)П_N(n)s_N(n),

p(n) = П_N(n)s_N(n) = sinс(pn/(N+1)), |n| £ N. (3.2.1)

Эта операция носит название сглаживания Ланцоша. Произведение П_N(n)s_N(n) ≡ s_N(n) представляет собой новое весовое окно селекции p(n) взамен прямоугольного окна. Функцию s_N(n) обычно называют временной весовой функцией (окном). Вид и частотная характеристика весового окна Ланцоша в сопоставлении с прямоугольным окном приведены на рис. 3.2.1.

Рис. 3.2.1. Весовая функция Ланцоша.

Как видно на рисунке, частотная характеристика весовой функции Ланцоша по сравнению с П-образной функцией имеет почти в 4 раза меньшую амплитуду осцилляций, но при этом ширина главного максимума увеличилась примерно на четверть. Отметим, однако, что если амплитуда осцилляций (в единицах амплитуды главного максимума) определяется выбранным типом весовой функции, то ширина главного максимума, которой определяется ширина переходной зоны (вместо скачка функции) зависит от размеров весового окна и соответственно может изменяться под поставленные условия (уменьшаться увеличением размера 2N+1 весового окна).

Основные весовые функции. В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме, и при этом с минимальными размерами весового окна.

В таблицах 3.2.1 и 3.2.2 приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных и часто используемых весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами (как и в (3.2.1)), что выполняется без дальнейших пояснений. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической, а не в дискретной форме, с временным окном 2t, симметричным относительно нуля (т.е. 0

t). При переходе к дискретной форме окно 2t заменяется окном 2N+1, а значения t - номерами отсчетов n (t = nDt). Следует заметить, что большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения, т.е. фактическое окно усечения данных занижается на 2 точки. Последнее исключается, если принять 2t = (2N+3)Dt.

Таблица 3.2.1.

Основные весовые функции

Временное окно	Весовая функция	Фурье-образ
Естественное (П)	П(t) = 1, |t|£t; П(t) = 0, |t|>t	П(w) = 2t sinc[wt]
Бартлетта (D)	b(t) = 1-|t|/t	B(w) = t sinc2(wt/2).
Хеннинга, Ганна	p(t) = 0.5[1+cos(pt/t)]	0.5П(w)+0.25П(w+p/t)+0.25П(w-p/t)
Хемминга	p(t) = 0.54+0.46·cos(pt/t)	0.54П(w)+0.23П(w+p/t)+0.23П(w-p/t)
Карре (2-е окно)	p(t) = b(t)·sinc(pt/t)	t·B(w)*П(w), П(w) = 1 при |w|<p/t
Лапласа-Гаусса	p(t) = exp[-b2(t/t)2/2]	[(t/b) exp(-t2w2/(2b2))] * П(w)
Кайзера-Бесселя	p(t) = Jo[x] = [(x/2)k/k!]2	Вычисляется преобразованием Фурье. Jo[x] - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка

Таблица 3.2.2.