«Информационные технологии для расчета эффективных матриц рассеяния метаматериалов» (стр. 2 из 4)
РАЗДЕЛ 2. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ И МЕТАМАТЕРИАЛОВ.
Как правило, композит или метаматериал представляют собой периодические структуры, в которых можно выделить некоторый набор типов структурных элементов (макроблоков) обладающих определенными характеристиками. Прямое моделирование всего метаматериала представляет собой очень сложную, а зачастую невозможную с точки зрения вычислительных затрат задачу. Поэтому задача поиска дескриптора, который бы описывал каждый тип макроблока, чтобы использовать его для описания характеристик метаматериала в целом является актуальной. Предлагается использовать для этой цели дескриптор в виде матрицы рассеяния.
2.1. Многоканальные матрицы рассеяния неоднородных блоков
Прямое использование метода МАБ для анализа метаматериалов предполагает следующие этапы, представленные на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Этапы решения электродинамической задачи методом МАБ
В метаматериале (рис. 2.1, а) выделяется макроблок, содержащий неоднородности (рис. 2.1, б). Макроблок разбивается на систему минимальных автономных блоков, которые считаются однородными (рис. 2.1, в). Для них аналитически находится матрица рассеяния, считая их подключенными к виртуальным волноводам бесконечно малой толщины с периодическими граничными условиями. Далее, путем объединения общих каналов вычисляется многоканальная матрица (рис. 2.1, г), порядок которой равен количеству каналов на внешних границах блока. Количество МАБ в макроблоках зависит от сложности внутренней структуры и его волновых размеров. Для моделирования известных метаматериалов порядок многоканальных матриц рассеяния может достигать десятков – сотен тысяч, что делает этот подход не эффективным по вычислительным затратам и информативности многоканальных матриц рассеяния.
2.2. Усредненные матрицы рассеяния
В работе [14] показана принципиальная возможность использования усредненных (эффективных) матриц рассеяния (УМР) для анализа метаматериалов на базе метода МАБ. В основе этого подхода лежит переход от многоканальной матрицы рассеяния к матрице рассеяния, имеющей порядок обычного МАБ (4 в 2D или 12 в 3D). Иллюстрация перехода от многоканальной к усредненной матрице рассеяния приведена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Получение усредненной матрицы рассеяния
Полученные многоканальные и усредненные матрицы рассеяния могут быть использованы в рамках метода МАБ для расчета характеристик метаматериала.
2.3. Технология решения электродинамических задач в среде пакета COMSOL Multiphysics
Пакет COMSOL Multiphysics является одним из самых известных и распространенных программных продуктов для решения задач методом конечных элементов. Именно он был выбран для исследований благодаря:
· Возможности расчета матриц рассеяния;
· Возможности прямой обработки результатов в пакете MATLAB;
· Удобному интерфейсу;
Возможность расчета матриц рассеяния реализована с помощью портов. Порт – это идеально согласованная плоскость, которая считывает проходящую через него волну или испускает плоскую волну (активный порт). Порты используются в волноводных задачах дифракции. Пусть в задаче активным является порт номер 1. Тогда параметр S11 который характеризует отражение вычисляется по формуле:
 , | (2.3а) |
А остальные параметры рассеяния Sj находятся как:
 , | (2.3б) |
где Ec – поле в порте, Ei – амплитуда собственных волн портов.
Так получается первый столбец матрицы рассеяния, составленный из параметров рассеяния Si1. Второй столбец получаем, делая активным второй порт и т.д. В итоге находим матрицу рассеяния системы в волноводной задаче.
Взаимодействие с пакетом MATLAB происходит через FEM структуру, которая содержит все параметры задачи, а также сетку конечных элементов. После изменения необходимых параметров, процесс вычисления матрицы рассеяния запускается вызовом функции sparametermatrix(), которой в виде параметра передается FEM структура. Решение задачи происходит средствами COMSOL Multiphysics, а результат передается обратно в MATLAB для обработки.
2.4. Методика расчета УМР для двумерных задач
Схема данной методики представлена на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Подключение периодических волноводов к сторонам блока
К каждой грани исследуемого блока подключаются волноводы с периодическими граничными условиями длины l имеющие постоянную распространения β. На концах волновода подключены идеально сгласованные порты. Подключение периодических волноводов приводит к тому, что на достаточно небольшом расстоянии от блока рассеянная волна становится плоской (рис. 2.4).
Элементы каждого столбца УМР вычисляются как комплексные амплитуды отраженных волн с учетом фазового набега от границы блока до соответствующего порта.
Для корректировки фазы используется формула
,где
и 
– элементы исходной и пересчитанной матрицы соответственно. Данная методика позволяет избежать проблем потери мощности, так как к портам приходят плоские волны, что обеспечивает корректное вычисление интегралов (2.3) 
Рис. 2.4. Волны в периодических волноводах
3.1. Исследование матриц рассеяния неоднородных блоков
Рассмотрим, как зависят элементы усредненной матрицы рассеяния от внутреннего содержимого исследуемого неоднородного блока. Для этого будем вычислять матрицу рассеяния с помощью методики, предложенной в разделе 2.4. Для наглядности возьмем блок в виде квадрата. Размер блока равен 1см. Диапазон длин волн падающего излучения 5-100 см. Если блок исследуется не в диапазоне длин волн, то длина волны по умолчанию равна 20см. Длина присоединенных волноводов одинакова и равна 2см.
Рассмотрим матрицу рассеяния пустого однородного блока, полученную с помощью данной методики:
-0.4966 + 0.0567i 0.4924 - 0.0913i 0.4960 - 0.0610i 0.4960 - 0.0610i
0.4924 - 0.0913i -0.4966 + 0.0567i 0.4960 - 0.0610i 0.4960 - 0.0610i
0.4960 - 0.0610i 0.4960 - 0.0610i -0.4966 + 0.0567i 0.4924 - 0.0913i
0.4960 - 0.0610i 0.4960 - 0.0610i 0.4924 - 0.0913i -0.4966 + 0.0567i
Эта матрица обладает теми же свойствами, что и матрица, полученная методом МАБ (симметричность, сумма квадратов элементов столбцов равна 1, действительная часть диагональных элементов меньше нуля, а остальных – больше нуля). Если рассмотреть зависимость модулей элементов первого столбца матрицы рассеяния от длины волны в исследуемом диапазоне (рис. 3.1), то можно увидеть, что с ростом λ они стремятся к 0.5. Это происходит из-за того, что поле в пределах блока становиться однородным. Также можно наблюдать совпадение кривых для элементов S31 и S41 из-за симметрии задачи и то, что |S21|>|S11|.
Рис. 3.1. Зависимость модулей элементов матрицы рассеяния от длины волны падающего излучения
Поместим теперь в центр блока неоднородность в виде диэлектрического квадрата с ε=4. В результате получим следующую матрицу рассеяния:
-0.5006 + 0.0359i 0.4889 - 0.1081i 0.4922 - 0.0797i 0.4923 - 0.0797i
0.4889 - 0.1081i -0.5006 + 0.0359i 0.4923 - 0.0797i 0.4922 - 0.0797i
0.4922 - 0.0797i 0.4923 - 0.0797i -0.5006 + 0.0359i 0.4889 - 0.1082i
0.4923 - 0.0797i 0.4922 - 0.0797i 0.4889 - 0.1082i -0.5006 + 0.0360i
Можно заметить, что матрица рассеяния сохранила равенство элементов S31 и S41, но теперь модуль значения элемента S11 (|S11|= 0.5019) стал больше чем модуль значения элемента S21 (|S21|= 0.5008) в первом столбце. Это вызвано тем, что в отличие от свободного пространства теперь есть отражение от диэлектрика. Если увеличить значение диэлектрической проницаемости, например, до ε=100, то это отражение станет еще заметнее (|S11|= 0.8880, |S21|=0.2820). Это позволяет сделать вывод, что усредненная матрица рассеяния чувствительна к материальному составу неоднородности внутри блока.