2.6.2 Против несчетности
Критика Витгенштейна несчетности в средний период в основном является неявной. Только после 1937 г. он предоставляет конкретные аргументы с целью показать, например, что диагональ Кантора не может доказать, что некоторые бесконечные множества имеют большую «множественность» чем другие.
Тем не менее, Витгенштейн в переходный период ясно отвергает тот принцип, что несчетное бесконечное множество имеет большую мощность, чем счетное бесконечное множество.
Когда люди говорят «Множество всех трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел», то это бессмысленно. Первое множество другого рода. Оно не «более не» счетно, оно попросту несчетно! (PR §174)
Как и в случае со своими переходными взглядами на подлинные иррациональные числа и аксиому мультипликативности, Витгенштейн здесь рассматривает диагональное доказательство несчетности «множества трансцендентных чисел» как показывающее только то, что трансцендентные числа не могут быть рекурсивно пронумерованы. Это бессмысленно, говорит он, от оправданного заключения о том, что эти числа, в принципе, не могут быть пронумерованы приходить к заключения о том, что множество трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел, которые могут быть рекурсивно пронумерованы. Здесь мы имеем две очень разных концепции число-типа. В случае с алгебраическими числами, мы имеем процедуру разрешимости для определения, является ли любое данное число алгебраическим или нет, и у нас есть метод нумерации алгебраических чисел, такой что мы можем видеть, что «каждое» алгебраическое число «будет» пронумеровано. В случае трансцендентных чисел, с другой стороны, у нас есть доказательства, что некоторые числа являются трансцендентными (т.е., не алгебраическими), и у нас есть доказательство, что мы не можем рекурсивно пронумеровать любую и каждую вещь, которую мы бы назвали «трансцендентным числом».
В (PG 461), Витгенштейн подобным образом говорит о том, что «математические псевдо-концепции» теории множеств ведут к фундаментальной сложности, которая начинается, когда мы бессознательно заранее предполагаем, что есть смысл в идее упорядочивания рациональных чисел по величине – «что такая попытка мыслима» - и достигает зенита в подобном размышлении, что возможно пронумеровать все действительные числа, хотя мы в дальнейшем поймем, что это невозможно.
Хотя Витгенштейн в переходный период определенно кажется настроенным крайне критически к подозрительному доказательству того, что некоторые бесконечные множества (например, действительные числа) имеют большую мощность, чем другие бесконечные множества, и хотя он обсуждает «диагональную процедуру» в феврале 1929 и июне 1930 гг. (MS 106, 266; MS 108, 180), наряду с диагональной диаграммой, эти и другие размышления раннего среднего периода не были опубликованы ни в PR, на в PG. Как мы увидим в разделе 3.4, поздний Витгенштейн анализирует диагональ Кантора и утверждения о несчетности довольно подробно.
3. Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения
(краткое содержание)
Несмотря на то, что поначалу некоторые комментаторы не принимали преемственность взглядов Витгенштейна в средний и поздний период (под поздним периодом будем понимать в основном RFM и LFM) [(Frascolla 1994), (Gerrard 1991, 127, 131-32), (Floyd 2005, 105-106)], другие утверждали, что, по большей части, философия математики Витгенштейна эволюционировала из среднего периода в поздний без каких-либо значительных изменений. В данной статье будем придерживаться второй точки зрения, истолковывая философию математики в поздний период как преемственную среднему, за исключением важного введения в критерий внешнего приложения математики.
Возможно, наиболее важной постоянной составляющей философии математики Витгенштейна в средний и поздний период было то, что по его мнению математика – это человеческое изобретение, и в математике все изобретается. Подобно тому как Витгенштейн в средний период говорит «мы создаем математику», Витгенштейн в поздний период говорит, что мы «изобретаем» математику, и что «математик – не исследователь: он изобретатель». Ничто не существует в математическом смысле, пока мы не изобретем его. Критикуя метод математических исследований (открытий), Витгенштейн не только отвергает платонизм, он также отказывается от стандартного философского взгляда, согласно которому люди изобретают математические исчисления, но как только было изобретено исчисление, мы обязательно впоследствии откроем многие из бесконечного количества доказуемых и истинных теорем.
Витгенштейн подчеркивает различие между иллюзорным математическим открытием и подлинным математическим изобретением: «Я хочу отказаться от формулировки «Теперь я знаю больше об исчислении» и заменить ее на «Теперь у меня есть другое, новое исчисление»».
Витгенштейн в поздний период все так же отрицает существование актуальной бесконечности и бесконечных математических экстенций. Во-первых, он все так же придерживается мнения, что иррациональные числа – это правила для формирования конечных разложений в десятичную дробь, а не бесконечные математические экстенции. По мнению Витгенштейн в поздний период, попросту не существует ни свойства, ни правила, ни систематического способа определить каждое иррациональное число интенционально, что означает отсутствие критерия для иррациональных чисел, записанных полностью. По мнению Витгенштейна, мы дожны избегать слова «бесконечный» в математике.
Во-вторых, Витгенштейн все так же основывается на финитных взглядах в трактовке «предложений», подобных «есть три последовательных цифры 7 в десятичном разложении числа пи». Это предложение, по его мнению, не является значащим предложением вовсе, потому что мы не имеем на данный момент применимую процедуру разрешения, с помощью которой мы можем разрешить указанное предложение в некотором исчислении. Т.о., мы можем только иметь значащие предложения о конечных разложениях пи.
По одной из интерпретаций [(Goodstein 1972, 279, 282), (Anderson 1958, 487), (Klenk 1976, 13), (Frascolla 1994, 59)], Витгенштейн исключает неразрешимые математические предложения, но допускает, что существуют неразрешенные пока еще предложения, но разрешимые в принципе (в отсутствие известной применимой процедуры разрешения). Однако, есть важные свидетельства, что Витгенштейн сохраняет свою позицию в средний период о том, значащее математическое предложение определяется только в данном исчислении и только если мы заведомо знаем применимую и эффективную процедуру разрешения.
Преимущественно благодаря своим анти-фундаментализму и критике слияния интенций и экстенций, Витгенштейн в поздний период во многом придерживается своих взглядов о теории множеств в средний период. Учитывая, что математика – это «РАЗНООБРАЗИЕ техник доказательства», она не нуждается в основании. Т.к. теория множеств была изобретена для придания математике основания, она, как минимум, бесполезна.
По словам Витгенштейна, рассмотрение диагональной процедуры показывает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди наоборот зачастую смешивают эти два понятия. По его мнению, не только диагональное доказательство не может доказать, что одно бесконечное множество по мощности больше другого, это вообще нельзя доказать попросту потому, что «бесконечное множество» - не экстенция, и, следовательно, не бесконечная экстенция. Но вместо того, чтобы правильно интерпретировать доказательство Кантора, мы его используем, чтобы «показать, что существуют числа больше чем бесконечность», что «дает нам приятное чувство парадокса», которое, по словам Витгенштейна, и «является возможно главной причиной изобретения теории множеств».
По мнению Витгенштейна, диагональ Кантора доказывает не-перечислимость: что для каждого определенного понятия действительного числа (например, рекурсивное действительное), никто не сможет перечислить все подобные числа, потому что всегда можно построить диагональное число, которое попадает под выбранное понятие и при этом не перечислено. Т.о. образом, мы можем построить «бесконечно много» разнообразных систем иррациональных чисел, но мы не можем построить исчерпывающую систему всех иррациональных чисел. При этом теоретики теории множеств делают вывод, что «множество иррациональных чисел» имеет большую множественность, чем любое перечисление иррациональных чисел (или множество рациональных), хотя единственный вывод отсюда такой, что не существует такой вещи как множество всех иррациональных чисел.
Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр.
Как мы уже видели, этот критерий присутствовал в ЛФТ (6.211), но по существу отсутствовал в средний период. Причиной для этого отсутствия, возможно, кроется в том, что Витгенштейн в средний период хотел подчеркнуть, что в математике все есть синтаксис и ничего есть значение.
Скорее всего, существуют две причины, по которым Витгенштейн в поздний период заново вводит внешне-математическое приложение как необходимое условие математической языковой игры. Во-первых, основываясь на своем интересе в использовании естественных и формальных языков в различных «формах жизни», он подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности (наука, техника, предсказания). Во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками.