После написания ЛФТ в 1918, Фитгенштейн фактически не занимался философией до 2 февраля 1929, 11 месяцев спустя после посещения лекции голландского математика Л.Э.Я. Брауэра.
2. Финитный конструктивизм Витгенштейна в средний период
Мало сомнений в том, что Витгенштейн был вдохновлен лекцией «Наука, математика и язык» (Брауэр 1929) Л.Э.Я. Брауэра 10 марта 1928, прочитанной им в Вене, которую Витгенштейн посетил с F. Waismann и H. Feigl, но это будет большим преувеличением говорить, что он вернулся к философии из-за услышанной им лекции или что его переходный интерес к философии математики главным образом был основан на влиянии Брауэра. Фактически, возврат Витгенштейна к философии математики и своей переходной работе о математике также основан на диалогах с Ramsey и членами Венского кружка, на несогласии Витгенштейна с Ramsey о тождестве, и на некоторых других факторах.
Несмотря на то, что, скорее всего, Витгенштейн не прочел ни одной работы Гильберта или Брауэра до окончания работы над ЛФТ, к началу 1929 Витгенштейн определенно прочитал работы Брауэра, Вейля, Skolem, Рамсея (и, возможно, Гильберта) и, должно быть, имел одну или более частных дискуссий с Брауэром в 1928 [(Le Roy Finch 1977, 260), (Van Dalen 2005, 566-567)]. Т.о., трактовка математики в ЛФТ, находившаяся там в достаточно зачаточном состоянии, и сформировавшаяся главным образом под влиянием Рассела и Фреге, была развита в детальной работе по математике в средний период (1929-1933), на которую большое влияние оказали работы 1920х гг Брауэра, Вейля, Гильберта и Skolem.
2.1 Конструктивный формализм Витгенштейна
Для того, чтобы лучше понять переходную философию математики Витгенштейна, нужно полностью оценить его усиленный формализм, согласно которому «мы создаем математику» (WVC 34, Ft. #1; PR §159), придумывая чисто формальные математические исчисления с «фиксированными» (?stipulated) аксиомами (PR §202), синтаксическими правилами преобразования и процедурами разрешимости, которые позволяют нам ввести в обращение «математическую истинность» и «математическую ложность» путем алгоритмической разрешимости так называемых математических «предложений» (PR §§122, 162).
Основная идея формализма Витгенштейна с 1929 (если не с 1918) по 1944 – математика по существу синтаксическая, лишенная отношений и семантики. Наиболее очевидный момент этой точки зрения, которой придерживается целый ряд комментаторов, не отосящих Витгенштейна к «формалистам» [(Kielkopf 1970, 360-38), (Klenk 1976, 5, 8, 9), (Fogelin 1968, 267), (Frascolla 1994, 40), (Marion 1998, 13-14)], состоит в том (контр Платонизм), что знаки и предложения математического исчисления не соотносятся ни с чем. Как пишет Витгенштейн в (WVC 34, Ft. #1), «числа не представлены чем-то; числа есть». Это значит, что не только используемые числа есть, это значит, что символы чисел (нумералы) есть числа, т.к. «арифметика не говорит о числах, она работает с числами» (PR §109).
То, чем занимается арифметика, есть схема | | | |. – Но говорит ли арифметика о линиях, которые я рисую карандашом на бумаге? - Арифметика не говорит о линиях, она работает с ними. (PG 333)
В том же духе Витгенштейн говорит, что (WVC 106) «математика – это всегда машина, исчисление» и «исчисление – это счеты, калькулятор, счетная машина», которая «работает с помощью штрихов (?strokes), нумералов и т.д.». «Подтвержденная сторона формализма», согласно Витгенштейну (WVC 105), состоит в том, что математические символы «теряют значение» (т.е., ‘Bedeutung’) – они не «представляют» вещи, которые «сами по себе являются значениями».
Вы могли бы сказать, что арифметика – это род геометрии; т.е. то, что в геометрии является конструкциями на бумаге, в арифметике есть вычисления (на бумаге). – Вы могли бы сказать, что это более общая форма геометрии. (PR §109; PR §111)
Это – ядро формализма Витгенштейна на протяжении все его жизни. Когда мы доказываем теорему или разрешаем предложение, мы оперируем в чисто формальной, синтаксической манере. Занимаясь математикой, мы не открываем ранее известные истины, которые были «уже и так известны до того, как их кто-то узнал» (PG 481) – мы изобретаем математику, кусочек за кусочком. «Если вы хотите знать, что значит 2 + 2 = 4», говорит Витгенштейн, «вы должны спросить, как мы это получили», потому что «мы рассматриваем процесс вычисления как существенную вещь» (PG 333). Поэтому, единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления.
Вторым значительным моментом переходного сильного формализма Витгенштейна является его точка зрения о том, что внешнее приложение математики (и/или ссылка на него) - не обязательное условие математического исчисления. Математические исчисления не требуют внешних математических приложений, аргументирует Витгенштейн, т.к. мы «можем развить арифметику полностью автономно, и ее приложение обеспечивает себя, т.к. где бы оно не было применимо, мы можем также применить его» (PR §109; ср. с PG 308, WVC 104).
Как мы скоро увидим, средний Витгенштейн был причислен к сильному формализму из-за нового интереса к вопросам разрешимости. Несомненно, под воздействием от работ Брауэра и Дэвида Гильберта, Витгенштейн использует сильный формализм для постулирования новой связи между математической значимостью и алгоритмической разрешимостью.
Уравнение – это правило синтаксиса. Разве это не объясняет, почему у нас не может быть вопросов о математике, которые принципиально не имеют ответа? Т.к. если правила синтаксиса не могут быть охвачены, они совершенно бесполезны... [Это] делает понятными попытки формалиста видеть математику как игру со знаками. (PR §121)
В разделе 2.3, мы увидим как Витгенштейн идет дальше как Гильберта, так и Брауэра, сохраняя закон исключенного третьего таким образом, который ограничивает математические предложения до выражений, которые алгоритмически разрешимы.
2.2 Финитизм Витгенштейна
Главное отличие раннего Витгенштейна от среднего заключается в том, что в средний период он отвергает кванторы над бесконечной областью определения, заявляя, в противоположность ЛФТ, что такие «предложения» не являются бесконечными конъюнкциями и бесконечными дизъюнкциями просто потому, что такого не существует.
Принципиальные причины для развития конечной (финитной) философии математики:
1. Математика – это человеческая выдумка: согласно среднему Витгенштейну, мы придумываем математику, из чего следует, что математика и так называемые математические объекты не присутствуют независимо от наших измышлений. Чем бы ни была математика, на самом деле это продукт человеческой деятельности.
2. Математические исчисления состоят исключительно из интенций (?intensions) и экстенций (?extensions): при условии, что мы придумали только математические экстенции (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математические интенции (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), эти экстенции и интенции, а также исчисления, которые из них состоят, составляют всю полноту математики. (Нужно заметить, что использование Витгенштейном понятий «экстенция» и «интенция» в отношении математики значительно отличается от стандартного современного их использования, в котором экстенция предиката – это множество сущностей, которые удовлетворяют предикату, а интенция – это значение предиката (или то значение, которое им выражается). Вкратце, Витгенштейн полагает, что расширение понятия «концепт-и-экстенция» из области существующих (т.е., физических) объектов в т.н. область «математических объектов» основывается на ложной аналогии и порождает понятийное заблуждение. См. #1 ниже)
Эти две причины имеют по крайней мере пять прямых следствий для философии математики Витгенштейна.
1. Отказ от бесконечных математических экстенций: при условии, что математическая экстенция – это символ («знак») или конечное соединение символов, простирающееся в пространстве, есть категориальная разница между математическими интенциями и (конечными) математическими экстенциями, из которой следует что «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (т.е., интенциях). Бесконечная математическая экстенция (т.е., завершенная бесконечная математическая экстенция) – это противоречие в терминах.
2. Отказ от неограниченной кванторизации в математике: учитывая, что единственной бесконечностью в математике может только рекурсивное правило, и учитывая, что математическое предложение должно иметь смысл, получаем, что не может быть бесконечного математического предложения (т.е., бесконечного логического произведения или бесконечной логической суммы)
3. Алгоритмическая разрешимость и неразрешимость: если математиские выражения всех типов обязательно конечные, то, по существу, все математические предложения алгоритмически разрешимы, из чего следует, что «неразрешимые математические предложения» - это противоречие в терминах. Даже более, т.к. математика – это, по существу, то что мы имеем и то что мы знаем, Витгенштейн ограничил алгоритмическую разрешимость до знания каким образом устанавливать разрешимость предложения на основе известной процедуры проверки разрешимости.
4. Анти-фундаменталистское мнение о действительных числах: т.к. не существует бесконечных математических экстенций, иррациональные числа – это правила, а не экстенции. Учитывая, что бесконечное множество – это рекурсивное правило (или индукция), и нет такого правила, которое смогло бы породить все объекты, которые математики называют (или хотят называть) «действительными числами», получаем, что не существует множества «всех» действительных чисел, и что нет такой вещи, как математический континуум.